Es gelten auch die folgenden Aussagenäquivalenzen: 20)
[Formel 1]
aufgrund deren, wie man sieht, die Mannigfaltigkeit der verfügbaren Schreibweisen oder Darstellungsmöglichkeiten einer Subsumtion, die schon im identischen Kalkul eine grosse gewesen, für unsre Disziplin noch ausserordentlich viel grösser wird, ja fast in's Ungeheuerliche anwächst.
Beweis von 20). Gilt ab, so können wir nach Satz 1) des § 6 -- zum Beispiel: beiderseits an relativ voraddiren und erhalten: an j aan j b.
Nach 3) ist aber 1' an j a und somit folgt a fortiori: 1' an j b, d. h. es ist der Satz erwiesen: (ab) (1' an j b).
Um auch die umgekehrte Subsumtion zu erweisen, erheben wir die rechte Seite zur Voraussetzung und multipliziren beiderseits mit a relativ vor; dadurch entsteht: a ; 1' a ; (an j b), wo die linke Seite sich nach 11) zu a reduzirt. Die rechte Seite ist aber nach Satz 7) des § 6: a ; (an j b) a ; an j b 0' j b = b wegen 3), sowie 1) des § 6, und 11); mithin ist ab erwiesen, q. e. d.
Die Formeln des Gespannes: 21)
[Formel 2]
deren erste wir mit der letzten Beweiszeile erwiesen haben, sind auch an sich bemerkenswert und würden sich den Sätzen des § 6 anreihen.
Nachdem nun die erste von den Äquivalenzen 20) bewiesen ist, er- geben sich die drei übrigen Formen der Aussage links von der Zeilenmitte leicht, indem man den in jener enthaltenen Satz anwendet auf die drei andern Subsumtionen, mit denen nach 13) des § 6, S. 87 die vorgelegte ab äquivalent ist -- wonach denn in der That auch: (bnan) = (1' b j an), (ab) = (1' an j b), (bnan) = (1' b j an) wird sein müssen.
Aus den linksseitigen vier Formen der als äquivalent mit ab hin- gestellten acht Subsumtionen (20) fliessen endlich die vier rechtseitigen (als die jenen dual entsprechenden) durch Kontraposition, sodass sie nun- mehr alle bewiesen sind.
Nimmt man b = a in 20) an, indem man demgemäss b durch a er- setzt, so kommt man, weil aa selbstverständlich gilt, auf die Sätze 3)
Vierte Vorlesung.
Es gelten auch die folgenden Aussagenäquivalenzen: 20)
[Formel 1]
aufgrund deren, wie man sieht, die Mannigfaltigkeit der verfügbaren Schreibweisen oder Darstellungsmöglichkeiten einer Subsumtion, die schon im identischen Kalkul eine grosse gewesen, für unsre Disziplin noch ausserordentlich viel grösser wird, ja fast in’s Ungeheuerliche anwächst.
Beweis von 20). Gilt a ⋹ b, so können wir nach Satz 1) des § 6 — zum Beispiel: beiderseits ā̆ relativ voraddiren und erhalten: ā̆ ɟ a ⋹ ā̆ ɟ b.
Nach 3) ist aber 1' ⋹ ā̆ ɟ a und somit folgt a fortiori: 1' ⋹ ā̆ ɟ b, d. h. es ist der Satz erwiesen: (a ⋹ b) ⋹ (1' ⋹ ā̆ ɟ b).
Um auch die umgekehrte Subsumtion zu erweisen, erheben wir die rechte Seite zur Voraussetzung und multipliziren beiderseits mit a relativ vor; dadurch entsteht: a ; 1' ⋹ a ; (ā̆ ɟ b), wo die linke Seite sich nach 11) zu a reduzirt. Die rechte Seite ist aber nach Satz 7) des § 6: a ; (ā̆ ɟ b) ⋹ a ; ā̆ ɟ b ⋹ 0' ɟ b = b wegen 3), sowie 1) des § 6, und 11); mithin ist a ⋹ b erwiesen, q. e. d.
Die Formeln des Gespannes: 21)
[Formel 2]
deren erste wir mit der letzten Beweiszeile erwiesen haben, sind auch an sich bemerkenswert und würden sich den Sätzen des § 6 anreihen.
Nachdem nun die erste von den Äquivalenzen 20) bewiesen ist, er- geben sich die drei übrigen Formen der Aussage links von der Zeilenmitte leicht, indem man den in jener enthaltenen Satz anwendet auf die drei andern Subsumtionen, mit denen nach 13) des § 6, S. 87 die vorgelegte a ⋹ b äquivalent ist — wonach denn in der That auch: (b̄ ⋹ ā) = (1' ⋹ b̆ ɟ ā), (ă ⋹ b̆) = (1' ⋹ ā ɟ b̆), (b̄̆ ⋹ ā̆) = (1' ⋹ b ɟ ā̆) wird sein müssen.
Aus den linksseitigen vier Formen der als äquivalent mit a ⋹ b hin- gestellten acht Subsumtionen (20) fliessen endlich die vier rechtseitigen (als die jenen dual entsprechenden) durch Kontraposition, sodass sie nun- mehr alle bewiesen sind.
Nimmt man b = a in 20) an, indem man demgemäss b durch a er- setzt, so kommt man, weil a ⋹ a selbstverständlich gilt, auf die Sätze 3)
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Vierte Vorlesung.
Es gelten auch die folgenden Aussagenäquivalenzen:
20) [FORMEL]
aufgrund deren, wie man sieht, die Mannigfaltigkeit der verfügbaren
Schreibweisen oder Darstellungsmöglichkeiten einer Subsumtion, die
schon im identischen Kalkul eine grosse gewesen, für unsre Disziplin
noch ausserordentlich viel grösser wird, ja fast in’s Ungeheuerliche
anwächst.
Beweis von 20). Gilt a ⋹ b, so können wir nach Satz 1) des § 6
— zum Beispiel: beiderseits ā̆ relativ voraddiren und erhalten: ā̆ ɟ a ⋹ ā̆ ɟ b.
Nach 3) ist aber 1' ⋹ ā̆ ɟ a und somit folgt a fortiori: 1' ⋹ ā̆ ɟ b, d. h.
es ist der Satz erwiesen:
(a ⋹ b) ⋹ (1' ⋹ ā̆ ɟ b).
Um auch die umgekehrte Subsumtion zu erweisen, erheben wir die
rechte Seite zur Voraussetzung und multipliziren beiderseits mit a relativ
vor; dadurch entsteht: a ; 1' ⋹ a ; (ā̆ ɟ b), wo die linke Seite sich nach 11)
zu a reduzirt. Die rechte Seite ist aber nach Satz 7) des § 6:
a ; (ā̆ ɟ b) ⋹ a ; ā̆ ɟ b ⋹ 0' ɟ b = b
wegen 3), sowie 1) des § 6, und 11); mithin ist a ⋹ b erwiesen, q. e. d.
Die Formeln des Gespannes:
21) [FORMEL]
deren erste wir mit der letzten Beweiszeile erwiesen haben, sind auch
an sich bemerkenswert und würden sich den Sätzen des § 6 anreihen.
Nachdem nun die erste von den Äquivalenzen 20) bewiesen ist, er-
geben sich die drei übrigen Formen der Aussage links von der Zeilenmitte
leicht, indem man den in jener enthaltenen Satz anwendet auf die drei
andern Subsumtionen, mit denen nach 13) des § 6, S. 87 die vorgelegte
a ⋹ b äquivalent ist — wonach denn in der That auch:
(b̄ ⋹ ā) = (1' ⋹ b̆ ɟ ā), (ă ⋹ b̆) = (1' ⋹ ā ɟ b̆), (b̄̆ ⋹ ā̆) = (1' ⋹ b ɟ ā̆)
wird sein müssen.
Aus den linksseitigen vier Formen der als äquivalent mit a ⋹ b hin-
gestellten acht Subsumtionen (20) fliessen endlich die vier rechtseitigen
(als die jenen dual entsprechenden) durch Kontraposition, sodass sie nun-
mehr alle bewiesen sind.
Nimmt man b = a in 20) an, indem man demgemäss b durch a er-
setzt, so kommt man, weil a ⋹ a selbstverständlich gilt, auf die Sätze 3)
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 126. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/140>, abgerufen am 25.11.2024.
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