Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 8. Die reduziblen primären Modulknüpfungen.

1 den Modul der identischen Multi- plikation

0 den Modul der identischen Ad- dition

1' den Modul der relativen Multi- plikation

0' den Modul der relativen Ad- dition

insofern in jedem Falle die angeführte Operation mit dem zugehörigen
Modul nichts ändert. Dies ist gewiss leicht zu merken und man muss
es sich fest einprägen.

Wenn man sich jetzt noch hinzu merkt, dass auch ein relatives
Produkt verschwindet, sobald ein Faktor desselben 0 ist, und auch eine
relative Summe gleich 1 wird, sobald ein Term diesen Wert annimmt, so
wird man — was unerlässlich — die vorstehenden Sätze bald fest
inne haben.

Der Zusammenziehung zuliebe haben wir in 8) bis 11) die konjugirten
Gleichungen neben statt untereinander geschrieben.

An Beweisen ist zu liefern zu 10):
(0 ; a)_{i j} = Σ_h0_{i h}a_{h j} = Σ_h0 a_{h j} = Σ_h0 = 0 = 0_{i j}.
Zu 11):
(a ; 1')_{i j} = Σ_ha_{i h}1'_{h j} = a_{h j}, (a ɟ 0')_{i j} = Π_h(a_{i h} + 0'_{h j}) = a_{i j},
(1' ; a)_{i j} = Σ_h1'_{i h}a_{h j} = a_{i j}, (0' ɟ a)_{i j} = Π_h(0'_{i h} + a_{h j}) = a_{i j}.

Der letzte Beweis legt uns eine sehr wichtige allgemeine Bemer-
kung nahe.

Man merke, dass eine Summe
12_×) Σ_h1'_{h k}f(h) = f(k) = Σ_hf(h)1'_{k h}
in deren allgemeinem Gliede ein Koeffizient des Moduls 1' als (veränder-
licher) Faktor auftritt, sich immer nach dem vorstehenden Schema
reduzirt zu einem einzigen ihrer Glieder nämlich demjenigen, welches
man erhält, indem man im allgemeinen Gliede die Summationsvariable
ersetzt durch den Ko-Index, andern Zeiger, welcher mit ihr zusammen
das Suffix von 1' ausmacht.

Dualentsprechend reduzirt sich auch ein Produkt, in dessen allgemeinem
Faktor ein Koeffizient von 0' als variabler Summand enthalten ist, nach
dem Schema:
12₊) Π_h{0'_{h k} + f(h)} = f(k) = Π_h{f(h) + 0'_{k h}}
zu einem einzigen und zwar demjenigen seiner Faktoren, in welchem die
Produktationsvariable ihren Mitzeiger im Suffix von 0' zum Werte hat.

Der Beweis dieser Bemerkungen liegt darin, dass nach (7):
[Formel 1]