Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 8. Noch einige Grundformeln. welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d. Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von
i j zu unterscheiden. Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben
Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub- Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent- Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen
dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3) solches nicht der Fall ist -- weil eben die Schemata 4) kein Analogon auf der zweiten Hauptstufe besitzen. Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:
wichtigen und schon bekannten Sätzen: 6) (1 an + b) = (a b) = (abn 0) entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln: 7) [Formel 1] dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben. Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster § 8. Noch einige Grundformeln. welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d. Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von
i ≠ j zu unterscheiden. Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben
Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub- Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent- Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen
dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3) solches nicht der Fall ist — weil eben die Schemata 4) kein Analogon auf der zweiten Hauptstufe besitzen. Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:
wichtigen und schon bekannten Sätzen: 6) (1 ⋹ ā + b) = (a ⋹ b) = (ab̄ ⋹ 0) entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln: 7) [Formel 1] dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben. Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0133" n="119"/><fw place="top" type="header">§ 8. Noch einige Grundformeln.</fw><lb/> welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-<lb/> sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d.</p><lb/> <p>Behufs <hi rendition="#g">Beweises</hi> von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von<lb/> der Gültigkeit der Koeffizientensubsumtionen:<lb/><table><row><cell>1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> ⋹ <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i h</hi></hi> + <hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">j h</hi></hi>)</cell><cell><hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">i h</hi>ā<hi rendition="#sub">j h</hi></hi>⋹ 0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi></cell></row><lb/></table> für jedes Suffix <hi rendition="#i">ij</hi> überzeuge. Hierbei sind wieder die Fälle <hi rendition="#i">i</hi> = <hi rendition="#i">j</hi> und<lb/><hi rendition="#i">i</hi> ≠ <hi rendition="#i">j</hi> zu unterscheiden.</p><lb/> <p>Im ersten Falle ist 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i i</hi></hi> = 1 und 0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = 0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i i</hi></hi> = 0 und haben<lb/> wir in der That:<lb/><table><row><cell>1 = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i h</hi></hi> + <hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">i h</hi></hi>)</cell><cell><hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">i h</hi>ā<hi rendition="#sub">i h</hi></hi> = 0,</cell></row><lb/></table> weil jeder Faktor des Produkts = 1 und jedes Glied der Summe = 0 ist.</p><lb/> <p>Im zweiten Falle ist 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = 0 und 0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = 1 und müssen die Sub-<lb/> sumtionen als solche die das Subjekt 0 oder das Prädikat 1 haben,<lb/> ohnehin gelten — q. e. d.</p><lb/> <p>Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent-<lb/> lich nur je die eine derselben zu beweisen nötig.</p><lb/> <p>Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen<lb/> Kalkuls:<lb/> 4) <table><lb/><row><cell>(1 ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>) = (1 = <hi rendition="#i">a</hi>)</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ 0) = (<hi rendition="#i">a</hi> = 0)</cell></row><lb/></table> die beiden Subsumtionen 1) auch <hi rendition="#i">als Gleichungen</hi> angesetzt werden<lb/> dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3)<lb/> solches <hi rendition="#i">nicht</hi> der Fall ist — weil eben die Schemata 4) kein Analogon<lb/> auf der zweiten Hauptstufe besitzen.</p><lb/> <p>Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:<lb/> 5) <table><lb/><row><cell>(1 = <hi rendition="#i">ab</hi>) = (1 = <hi rendition="#i">a</hi>)(1 = <hi rendition="#i">b</hi>)</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 0) = (<hi rendition="#i">a</hi> = 0)(<hi rendition="#i">b</hi> = 0)</cell></row><lb/></table> ein Analogon bei den relativen Operationen, wogegen wir zu den hoch-<lb/> wichtigen und schon bekannten Sätzen:<lb/> 6) <hi rendition="#et">(1 ⋹ <hi rendition="#i">ā</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">ab̄</hi> ⋹ 0)</hi><lb/> entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses<lb/> Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln:<lb/> 7) <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/> dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben.</p><lb/> <p>Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster<lb/> Hauptstufe auf der zweiten mag eventuell als Anregung zu weitern For-<lb/> schungen dienen. Es war uns dabei weniger um deren endgültige Beant-<lb/> wortung zu thun als vielmehr darum, die Sätze 1) bis 7), die noch zu<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [119/0133]
§ 8. Noch einige Grundformeln.
welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-
sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d.
Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von
der Gültigkeit der Koeffizientensubsumtionen:
1'i j ⋹ Πh(ai h + āj h) Σhai hāj h⋹ 0'i j
für jedes Suffix ij überzeuge. Hierbei sind wieder die Fälle i = j und
i ≠ j zu unterscheiden.
Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben
wir in der That:
1 = Πh(ai h + āi h) Σhai hāi h = 0,
weil jeder Faktor des Produkts = 1 und jedes Glied der Summe = 0 ist.
Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub-
sumtionen als solche die das Subjekt 0 oder das Prädikat 1 haben,
ohnehin gelten — q. e. d.
Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent-
lich nur je die eine derselben zu beweisen nötig.
Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen
Kalkuls:
4) (1 ⋹ a) = (1 = a) (a ⋹ 0) = (a = 0)
die beiden Subsumtionen 1) auch als Gleichungen angesetzt werden
dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3)
solches nicht der Fall ist — weil eben die Schemata 4) kein Analogon
auf der zweiten Hauptstufe besitzen.
Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:
5) (1 = ab) = (1 = a)(1 = b) (a + b = 0) = (a = 0)(b = 0)
ein Analogon bei den relativen Operationen, wogegen wir zu den hoch-
wichtigen und schon bekannten Sätzen:
6) (1 ⋹ ā + b) = (a ⋹ b) = (ab̄ ⋹ 0)
entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses
Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln:
7) [FORMEL]
dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben.
Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster
Hauptstufe auf der zweiten mag eventuell als Anregung zu weitern For-
schungen dienen. Es war uns dabei weniger um deren endgültige Beant-
wortung zu thun als vielmehr darum, die Sätze 1) bis 7), die noch zu
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 119. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/133>, abgerufen am 24.08.2024. |