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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.

Auflösung. Wendet man auf x1 als Unbekannte das wolbekannte
Schema
(a x + b xn = 0) (x = b xn + an x)
an, so entsteht
x1 = xn1 (x2 xn3 ... xnn + xn2 x3 xn4 ... xnn + ... + xn2 ... xnn -- 1 xn) + x1 (x2 + x3 + ... xn),
und wenn man rechterhand die x durch arbiträre Parameter u ersetzt, so
hat man schon mit diesem ersten Schritt unserer Methode für die erste Un-
bekannte die gesuchte Lösung, -- woraus sich die Werte der übrigen Un-
bekannten nach der Symmetrie abschreiben lassen. Das System der all-
gemeinen Wurzeln ist mithin:

x1 = u1 (u2 + u3 + ... + un) + un1 (u2 un3 ... unn + un2 u3 un4 ... unn + ... + un2 ... unn -- 1 un)
x2 = u2 (u1 + u3 + ... + un) + un2 (u1 un3 ... unn + un1 u3 un4 ... unn + ... + un1 un3 ... unn -- 1 un)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = un (u1 + u2 + ... + un -- 1) +
+ unn (u1 un2 ... unn -- 1 + un1 u2 un3 ... unn -- 1 + ... + un1 un2 ... unn -- 2 un -- 1)
xn1 = u1 un2 un3 ... unn + un1 (u2 u3 + u2 u4 + u3 u4 + ... + un -- 1 un + un2 un3 ... unn)
xn2 = u2 un1 un3 ... unn + un2 (u1 u3 + u1 u4 + u3 u4 + ... + un -- 1 un + un1 un3 ... unn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xnn = un un1 un2 ... unn -- 1 +
+ unn (u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 + ... + un -- 2 un -- 1 + un1 un2 ... unn -- 1).

Der Bildung der Negationen liegt der leicht erweisliche Satz zum Grunde,
dass die Negation von
a1 an2 an3 ... ann + an1 a2 an3 ... ann + ... + an1 an2 ... ann -- 1 an,
nämlich
(an1 + a2 + a3 + ... + an) (a1 + an2 + a3 + ... + an) ... (a1 + a2 + ... + an -- 1 + an) =
= a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + ... + an -- 1 an + an1 an2 ... ann
ist, -- wo man sich behufs Nachweises nur zu überzeugen braucht, dass
a1 a2 als Glied in jedem Faktor enthalten ist und die übrigen Partialprodukte,
in denen a1 und a2 vorkommen, sonach absorbiren wird, sowie dass die
Partialprodukte mit nur einem unnegirten Faktor, wie an1 an2 ... ann -- 1 (a1 +
+ a2 + ... + an -- 1) verschwinden.

Nach dem oben angezogenen Schema stimmt nun jedenfalls die Probe
2 und bleibt also blos noch die Probe 1 zu machen, d. h. nachzusehen, dass
in der That bei ganz beliebigen ul z. B. x1 xn2 xn3 ... xnn = 0 wird. Zu dem
Ende wird man am besten xn2, ... xnn auch nach u1 entwickeln und darnach
durchmultipliziren. Man hat
xn2 = u1 un2 (u3 + u4 + ... + un) + un1 {un2 (u3 u4 + ... + un -- 1 un) + un3 un4 ... unn}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xnn = u1 unn (u2 + u3 + ... + un -- 1) + un1 {unn (u2 u3 + ... + un -- 2 un -- 1) + un2 un3 ... unn -- 1}

Vierundzwanzigste Vorlesung.

Auflösung. Wendet man auf x1 als Unbekannte das wolbekannte
Schema
(a x + b x̄ = 0) (x = b x̄ + ā x)
an, so entsteht
x1 = x̄1 (x2 x̄3 … x̄n + x̄2 x3 x̄4 … x̄n + … + x̄2 … x̄n — 1 xn) + x1 (x2 + x3 + … xn),
und wenn man rechterhand die x durch arbiträre Parameter u ersetzt, so
hat man schon mit diesem ersten Schritt unserer Methode für die erste Un-
bekannte die gesuchte Lösung, — woraus sich die Werte der übrigen Un-
bekannten nach der Symmetrie abschreiben lassen. Das System der all-
gemeinen Wurzeln ist mithin:

x1 = u1 (u2 + u3 + … + un) + ū1 (u2 ū3 … ūn + ū2 u3 ū4 … ūn + … + ū2 … ūn — 1 un)
x2 = u2 (u1 + u3 + … + un) + ū2 (u1 ū3 … ūn + ū1 u3 ū4 … ūn + … + ū1 ū3 … ūn — 1 un)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = un (u1 + u2 + … + un — 1) +
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x̄n = un ū1 ū2 … ūn — 1 +
+ ūn (u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 + … + un — 2 un — 1 + ū1 ū2 … ūn — 1).

Der Bildung der Negationen liegt der leicht erweisliche Satz zum Grunde,
dass die Negation von
a1 ā2 ā3 … ān + ā1 a2 ā3 … ān + … + ā1 ā2 … ān — 1 an,
nämlich
(ā1 + a2 + a3 + … + an) (a1 + ā2 + a3 + … + an) … (a1 + a2 + … + an — 1 + an) =
= a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + … + an — 1 an + ā1 ā2 … ān
ist, — wo man sich behufs Nachweises nur zu überzeugen braucht, dass
a1 a2 als Glied in jedem Faktor enthalten ist und die übrigen Partialprodukte,
in denen a1 und a2 vorkommen, sonach absorbiren wird, sowie dass die
Partialprodukte mit nur einem unnegirten Faktor, wie ā1 ā2 … ān — 1 (a1 +
+ a2 + … + an — 1) verschwinden.

Nach dem oben angezogenen Schema stimmt nun jedenfalls die Probe
2 und bleibt also blos noch die Probe 1 zu machen, d. h. nachzusehen, dass
in der That bei ganz beliebigen uλ z. B. x1 x̄2 x̄3 … x̄n = 0 wird. Zu dem
Ende wird man am besten x̄2, … x̄n auch nach u1 entwickeln und darnach
durchmultipliziren. Man hat
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x̄n = u1 ūn (u2 + u3 + … + un — 1) + ū1 {ūn (u2 u3 + … + un — 2 un — 1) + ū2 ū3 … ūn — 1}

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[434/0078] Vierundzwanzigste Vorlesung. Auflösung. Wendet man auf x1 als Unbekannte das wolbekannte Schema (a x + b x̄ = 0) (x = b x̄ + ā x) an, so entsteht x1 = x̄1 (x2 x̄3 … x̄n + x̄2 x3 x̄4 … x̄n + … + x̄2 … x̄n — 1 xn) + x1 (x2 + x3 + … xn), und wenn man rechterhand die x durch arbiträre Parameter u ersetzt, so hat man schon mit diesem ersten Schritt unserer Methode für die erste Un- bekannte die gesuchte Lösung, — woraus sich die Werte der übrigen Un- bekannten nach der Symmetrie abschreiben lassen. Das System der all- gemeinen Wurzeln ist mithin: x1 = u1 (u2 + u3 + … + un) + ū1 (u2 ū3 … ūn + ū2 u3 ū4 … ūn + … + ū2 … ūn — 1 un) x2 = u2 (u1 + u3 + … + un) + ū2 (u1 ū3 … ūn + ū1 u3 ū4 … ūn + … + ū1 ū3 … ūn — 1 un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = un (u1 + u2 + … + un — 1) + + ūn (u1 ū2 … ūn — 1 + ū1 u2 ū3 … ūn — 1 + … + ū1 ū2 … ūn — 2 un — 1) x̄1 = u1 ū2 ū3 … ūn + ū1 (u2 u3 + u2 u4 + u3 u4 + … + un — 1 un + ū2 ū3 … ūn) x̄2 = u2 ū1 ū3 … ūn + ū2 (u1 u3 + u1 u4 + u3 u4 + … + un — 1 un + ū1 ū3 … ūn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x̄n = un ū1 ū2 … ūn — 1 + + ūn (u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 + … + un — 2 un — 1 + ū1 ū2 … ūn — 1). Der Bildung der Negationen liegt der leicht erweisliche Satz zum Grunde, dass die Negation von a1 ā2 ā3 … ān + ā1 a2 ā3 … ān + … + ā1 ā2 … ān — 1 an, nämlich (ā1 + a2 + a3 + … + an) (a1 + ā2 + a3 + … + an) … (a1 + a2 + … + an — 1 + an) = = a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 + … + an — 1 an + ā1 ā2 … ān ist, — wo man sich behufs Nachweises nur zu überzeugen braucht, dass a1 a2 als Glied in jedem Faktor enthalten ist und die übrigen Partialprodukte, in denen a1 und a2 vorkommen, sonach absorbiren wird, sowie dass die Partialprodukte mit nur einem unnegirten Faktor, wie ā1 ā2 … ān — 1 (a1 + + a2 + … + an — 1) verschwinden. Nach dem oben angezogenen Schema stimmt nun jedenfalls die Probe 2 und bleibt also blos noch die Probe 1 zu machen, d. h. nachzusehen, dass in der That bei ganz beliebigen uλ z. B. x1 x̄2 x̄3 … x̄n = 0 wird. Zu dem Ende wird man am besten x̄2, … x̄n auch nach u1 entwickeln und darnach durchmultipliziren. Man hat x̄2 = u1 ū2 (u3 + u4 + … + un) + ū1 {ū2 (u3 u4 + … + un — 1 un) + ū3 ū4 … ūn} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x̄n = u1 ūn (u2 + u3 + … + un — 1) + ū1 {ūn (u2 u3 + … + un — 2 un — 1) + ū2 ū3 … ūn — 1}

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 434. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/78>, abgerufen am 03.05.2024.