Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
liebigen u, v, r, s, -- durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),
stimmt:
x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 =
= c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder
Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln
der Gleichung 1).

Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung
des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch
alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen
wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei-
chung 1) oder
1') c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0
erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen,
dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min-
destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden;
d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge-
wünschte Wurzelpaar x, y liefern.

Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen,
müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan
werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich
ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber
u = x, v = y
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen
des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen
die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1)
oder 1') als identisch erfüllt erweisen:
x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1 s x1 y + c r x1 y1
y = (c1 + r1) x y + c1 s x y1 + (c + s) x1 y + c r1 x1 y1.
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden,
nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1,
c + c1 s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass
x = x (c1 y + c y1), y = y (c1 x + c x1)
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch
Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden,
sich äquivalent umsetzen lässt in
x = x (c y + c1 y + c y1 + c1 y1) = x · 1 = x,
y = y (c x + c1 x + c x1 + c1 x1) = y · 1 = y
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
liebigen u, v, r, s, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),
stimmt:
x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 =
= c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder
Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln
der Gleichung 1).

Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung
des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch
alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen
wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei-
chung 1) oder
1') c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0
erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen,
dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min-
destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden;
d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge-
wünschte Wurzelpaar x, y liefern.

Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen,
müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan
werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich
ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber
u = x, v = y
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen
des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen
die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1)
oder 1') als identisch erfüllt erweisen:
x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1 s x1 y + c r x1 y1
y = (c1 + r1) x y + c1 s x y1 + (c + s) x1 y + c r1 x1 y1.
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden,
nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1,
c + c1 s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass
x = x (c1 y + c y1), y = y (c1 x + c x1)
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch
Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden,
sich äquivalent umsetzen lässt in
x = x (c y + c1 y + c y1 + c1 y1) = x · 1 = x,
y = y (c x + c1 x + c x1 + c1 x1) = y · 1 = y
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0069" n="425"/><fw place="top" type="header">§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.</fw><lb/>
liebigen <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi>, <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi>, &#x2014; durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),<lb/>
stimmt:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> = (<hi rendition="#i">c r</hi> + <hi rendition="#i">c r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">u v</hi> + <hi rendition="#i">c u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + (<hi rendition="#i">c r</hi> + <hi rendition="#i">c r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> =<lb/>
= <hi rendition="#i">c</hi> (<hi rendition="#i">u v</hi> + <hi rendition="#i">u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">c</hi>.</hi><lb/>
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder<lb/>
Klassen <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi>, <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi> bestimmt werden mögen, stets <hi rendition="#i">nur</hi> richtige Wurzeln<lb/>
der Gleichung 1).</p><lb/>
            <p>Eine <hi rendition="#i">zweite</hi> Probe soll aber noch die <hi rendition="#i">Vollständigkeit</hi> unserer Lösung<lb/>
des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch<lb/><hi rendition="#i">alle</hi> Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen<lb/>
wir uns unter <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei-<lb/>
chung 1) oder<lb/>
1') <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">c</hi> (<hi rendition="#i">x y</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi>) = 0</hi><lb/>
erfüllt, und denken uns ferner <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi> irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen,<lb/>
dass es dann jedesmal ein Wertepaar <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> überhaupt gibt (also min-<lb/>
destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden;<lb/>
d. h. dass uns für dieses Wertepaar <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> unsere Lösungen 2) das ge-<lb/>
wünschte Wurzelpaar <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> liefern.</p><lb/>
            <p>Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen,<lb/>
müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> dargethan<lb/>
werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> sich<lb/>
ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> = <hi rendition="#i">y</hi></hi><lb/>
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen<lb/>
des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen<lb/>
die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1)<lb/>
oder 1') als identisch erfüllt erweisen:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> = (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi>) <hi rendition="#i">x y</hi> + (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">c r x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/><hi rendition="#i">y</hi> = (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">x y</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">c r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi><lb/>
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden,<lb/>
nachdem man die Summen <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">s</hi> in <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c r</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c r</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/><hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">c y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">c x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</hi><lb/>
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch<lb/>
Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden,<lb/>
sich äquivalent umsetzen lässt in<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> (<hi rendition="#i">c y</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">c y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi> · 1 = <hi rendition="#i">x</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> (<hi rendition="#i">c x</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">c x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">y</hi> · 1 = <hi rendition="#i">y</hi></hi><lb/>
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.</p><lb/>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[425/0069] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. liebigen u, v, r, s, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1), stimmt: x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 = = c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c. Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln der Gleichung 1). Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei- chung 1) oder 1') c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0 erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen, dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min- destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden; d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge- wünschte Wurzelpaar x, y liefern. Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen, müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber u = x, v = y selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1) oder 1') als identisch erfüllt erweisen: x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1 s x1 y + c r x1 y1 y = (c1 + r1) x y + c1 s x y1 + (c + s) x1 y + c r1 x1 y1. Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden, nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1, c + c1 s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass x = x (c1 y + c y1), y = y (c1 x + c x1) zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden, sich äquivalent umsetzen lässt in x = x (c y + c1 y + c y1 + c1 y1) = x · 1 = x, y = y (c x + c1 x + c x1 + c1 x1) = y · 1 = y und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/69
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 425. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/69>, abgerufen am 04.05.2024.