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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Diese Ableitung des Distributionsgesetzes hat den Vorteil, dass
die Dualität überall erhalten bleibt. Allerdings sind dazu unter III°
zwei Prinzipien aufgestellt, die auch wirklich beide unentbehrlich
scheinen.*)

Statuirt man das Prinzip III° dicht vor dem Th. 29), so lassen sich
auch für dieses
29) (a b = a c = 0) (a + b = a + c = 1) (b = c)
noch zwei einander dual entsprechende Beweise geben an Stelle des früheren
Bd. 1, S. 300:

Es ist nach den Voraussetzungen von 29) und dem Schema III°
(b + a) (b + c) = b = b a + b c

b + a = c + ab a = c a
(c + a) (c + b) = c = c a + c b,
ergo b = c.

Auch dieser Verbesserung soll in dem oben Seite 406 erwähnten
"Abriss" Rechnung getragen werden.

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Unbeschadet der sonstigen Zwecke dieses Werks kann der Leser
gleichwie den § 24 des Bd. 1 auch diesen Paragraphen überschlagen und
braucht darauf allenfalls erst dann zurückzukommen, wenn im dritten Band
auf die einschlägigen Untersuchungen -- nebenher, blos der Heuristik zu-
liebe -- verwiesen wird. Wer sich jedoch etwa in selbstthätiger Forschung
an noch ungelöste "Auflösungsprobleme" im Gebiet der Algebra der Relative
wagen sollte, dürfte dieses Kapitel gelegentlich mit Vorteil zurate ziehen, --
wie mir denn auch auf diesem Felde die hiernächst weiter zu führenden
Vorarbeiten thatsächlich gute Dienste geleistet haben zur Entdeckung zahl-
reicher Sätze und Problem-Lösungen, welche dann freilich im dritten Band
auch ohne Bezugnahme auf den heuristischen Gang verifiziert oder bewiesen
werden.

Zunächst ist behufs Vervollkommnung des in § 24 Gebotenen den
Lösungen zweier dortiger Aufgaben noch eine bessere Form zu geben.
Sodann sollen im folgenden noch weitere Aufgaben gelöst werden.

Bei Aufgabe 12 (desgleichen auch 14) und 15 l. c., wo es sich
um die symmetrisch allgemeine Bestimmung zweier Unbekannten x, y
handelt, die eine gegebne Forderung zu erfüllen haben, wurde zwar
jeweils das allgemeinste System von Wurzeln richtig aufgestellt, welches
in symmetrischer Weise der Aufgabe genügt, wobei die Unbekannten

*) Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Diese Ableitung des Distributionsgesetzes hat den Vorteil, dass
die Dualität überall erhalten bleibt. Allerdings sind dazu unter III°
zwei Prinzipien aufgestellt, die auch wirklich beide unentbehrlich
scheinen.*)

Statuirt man das Prinzip III° dicht vor dem Th. 29), so lassen sich
auch für dieses
29) (a b = a c = 0) (a + b = a + c = 1) (b = c)
noch zwei einander dual entsprechende Beweise geben an Stelle des früheren
Bd. 1, S. 300:

Es ist nach den Voraussetzungen von 29) und dem Schema III°
(b + a) (b + c) = b = b a + b c

b + a = c + ab a = c a
(c + a) (c + b) = c = c a + c b,
ergo b = c.

Auch dieser Verbesserung soll in dem oben Seite 406 erwähnten
„Abriss“ Rechnung getragen werden.

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Unbeschadet der sonstigen Zwecke dieses Werks kann der Leser
gleichwie den § 24 des Bd. 1 auch diesen Paragraphen überschlagen und
braucht darauf allenfalls erst dann zurückzukommen, wenn im dritten Band
auf die einschlägigen Untersuchungen — nebenher, blos der Heuristik zu-
liebe — verwiesen wird. Wer sich jedoch etwa in selbstthätiger Forschung
an noch ungelöste „Auflösungsprobleme“ im Gebiet der Algebra der Relative
wagen sollte, dürfte dieses Kapitel gelegentlich mit Vorteil zurate ziehen, —
wie mir denn auch auf diesem Felde die hiernächst weiter zu führenden
Vorarbeiten thatsächlich gute Dienste geleistet haben zur Entdeckung zahl-
reicher Sätze und Problem-Lösungen, welche dann freilich im dritten Band
auch ohne Bezugnahme auf den heuristischen Gang verifiziert oder bewiesen
werden.

Zunächst ist behufs Vervollkommnung des in § 24 Gebotenen den
Lösungen zweier dortiger Aufgaben noch eine bessere Form zu geben.
Sodann sollen im folgenden noch weitere Aufgaben gelöst werden.

Bei Aufgabe 12 (desgleichen auch 14) und 15 l. c., wo es sich
um die symmetrisch allgemeine Bestimmung zweier Unbekannten x, y
handelt, die eine gegebne Forderung zu erfüllen haben, wurde zwar
jeweils das allgemeinste System von Wurzeln richtig aufgestellt, welches
in symmetrischer Weise der Aufgabe genügt, wobei die Unbekannten

*) Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
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[423/0067] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. Diese Ableitung des Distributionsgesetzes hat den Vorteil, dass die Dualität überall erhalten bleibt. Allerdings sind dazu unter III° zwei Prinzipien aufgestellt, die auch wirklich beide unentbehrlich scheinen. *) Statuirt man das Prinzip III° dicht vor dem Th. 29), so lassen sich auch für dieses 29) (a b = a c = 0) (a + b = a + c = 1) (b = c) noch zwei einander dual entsprechende Beweise geben an Stelle des früheren Bd. 1, S. 300: Es ist nach den Voraussetzungen von 29) und dem Schema III° (b + a) (b + c) = b = b a + b c b + a = c + a b a = c a (c + a) (c + b) = c = c a + c b, ergo b = c. Auch dieser Verbesserung soll in dem oben Seite 406 erwähnten „Abriss“ Rechnung getragen werden. § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. Unbeschadet der sonstigen Zwecke dieses Werks kann der Leser gleichwie den § 24 des Bd. 1 auch diesen Paragraphen überschlagen und braucht darauf allenfalls erst dann zurückzukommen, wenn im dritten Band auf die einschlägigen Untersuchungen — nebenher, blos der Heuristik zu- liebe — verwiesen wird. Wer sich jedoch etwa in selbstthätiger Forschung an noch ungelöste „Auflösungsprobleme“ im Gebiet der Algebra der Relative wagen sollte, dürfte dieses Kapitel gelegentlich mit Vorteil zurate ziehen, — wie mir denn auch auf diesem Felde die hiernächst weiter zu führenden Vorarbeiten thatsächlich gute Dienste geleistet haben zur Entdeckung zahl- reicher Sätze und Problem-Lösungen, welche dann freilich im dritten Band auch ohne Bezugnahme auf den heuristischen Gang verifiziert oder bewiesen werden. Zunächst ist behufs Vervollkommnung des in § 24 Gebotenen den Lösungen zweier dortiger Aufgaben noch eine bessere Form zu geben. Sodann sollen im folgenden noch weitere Aufgaben gelöst werden. Bei Aufgabe 12 (desgleichen auch 14) und 15 l. c., wo es sich um die symmetrisch allgemeine Bestimmung zweier Unbekannten x, y handelt, die eine gegebne Forderung zu erfüllen haben, wurde zwar jeweils das allgemeinste System von Wurzeln richtig aufgestellt, welches in symmetrischer Weise der Aufgabe genügt, wobei die Unbekannten *) Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 423. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/67>, abgerufen am 03.12.2024.