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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Bereich der beiden Werte 0 und 1 angewiesen sind, so müssen die
Koeffizienten der gleichnamigen Glieder (resp. eines jeden Konstituenten)
in beiden Funktionen einzeln übereinstimmen.

Zwei mit den letzten analoge Sätze gelten schon über die Ein-
ordnung, Subsumtion, zwischen derartigen Funktionen, nämlich erstens:

Von zwei (homogenen linearen) Funktionen der nämlichen disjunkten
Argumente kann die eine der andern nicht anders eingeordnet sein, als
indem die gleichgesinnte (gleichstimmige) Einordnung zwischen je zwei
gleichnamigen Gliedern der entwickelten Funktionen besteht, -- gleichwie
auch umgekehrt selbstverständlich -- gemäss Th. 15), -- wenn die
Einordnung zwischen den homologen Gliedern durchgängig besteht,
auch deren Summen, die Funktionen im Subsumtionsverhältnisse stehen
müssen. In Zeichen:

Wenn für x y = x z = ... = y z = ... = 0 ist:
a x + b y + c z + ... a x + b y + g z + ...,
so muss sein a x a x, b y b y, c z g z, ..., (sowie umgekehrt).

Beweis. Denn beiderseitiges Multipliziren mit x gibt wegen erst-
erwähnter Voraussetzung a x x a x x oder a x a x, wie zu zeigen war, usw.

Sind zweitens die Koeffizienten wieder auf das Gebiet der Werte 0
und 1 beschränkt, die Argumente aber von 0 verschieden, so folgt aus
der Einordnung zwischen den Funktionen auch die im selben Sinn ge-
nommene zwischen ihren homologen Koeffizienten, -- sowie selbstverständ-
lich auch das Umgekehrte zutreffen wird.

Denn wäre bei a x a x und x 0 etwa a a, so müsste a = 1
und a = 0 sein, weil in den drei andern noch denkbaren Fällen eben a a
sein würde. Alsdann aber führte die schon erwiesene Subsumtion a x a x
zu dem Widerspruche x 0 mit der Voraussetzung x 0.

Eine dritte Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen steht im
Dienste des Satzes von der "Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion
des Distributionsgesetzes" -- vergl. § 12 des Bd. 1, -- für welche ich
im Anhang 4, 5 und 6 zwei Beweise erstmals gegeben habe, von denen
wenigstens der zweite, Bd. 1, S. 685 ff., sich ganz innerhalb des Rahmens
der logischen Disziplin selbst hielt und keines extralogischen Substrates
zu der Exemplifikation, auf die es ankommt, benötigte.

Die Wichtigkeit des gedachten Satzes beruht bekanntlich darauf,
dass durch ihn die selbständige Existenz jener Disziplin verbürgt ist,
die ich als einen "logischen Kalkul mit Gruppen" oder kurz als
"Gruppenkalkul" bezeichnete, um sie von "identischen Kalkul" unter-
scheiden und diesem gegenüberstellen zu können.

§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Bereich der beiden Werte 0 und 1 angewiesen sind, so müssen die
Koeffizienten der gleichnamigen Glieder (resp. eines jeden Konstituenten)
in beiden Funktionen einzeln übereinstimmen.

Zwei mit den letzten analoge Sätze gelten schon über die Ein-
ordnung, Subsumtion, zwischen derartigen Funktionen, nämlich erstens:

Von zwei (homogenen linearen) Funktionen der nämlichen disjunkten
Argumente kann die eine der andern nicht anders eingeordnet sein, als
indem die gleichgesinnte (gleichstimmige) Einordnung zwischen je zwei
gleichnamigen Gliedern der entwickelten Funktionen besteht, — gleichwie
auch umgekehrt selbstverständlich — gemäss Th. 15), — wenn die
Einordnung zwischen den homologen Gliedern durchgängig besteht,
auch deren Summen, die Funktionen im Subsumtionsverhältnisse stehen
müssen. In Zeichen:

Wenn für x y = x z = … = y z = … = 0 ist:
a x + b y + c z + … α x + β y + γ z + …,
so muss sein a x α x, b y β y, c z γ z, …, (sowie umgekehrt).

Beweis. Denn beiderseitiges Multipliziren mit x gibt wegen erst-
erwähnter Voraussetzung a x x α x x oder a x α x, wie zu zeigen war, usw.

Sind zweitens die Koeffizienten wieder auf das Gebiet der Werte 0
und 1 beschränkt, die Argumente aber von 0 verschieden, so folgt aus
der Einordnung zwischen den Funktionen auch die im selben Sinn ge-
nommene zwischen ihren homologen Koeffizienten, — sowie selbstverständ-
lich auch das Umgekehrte zutreffen wird.

Denn wäre bei a x α x und x ≠ 0 etwa a α, so müsste a = 1
und α = 0 sein, weil in den drei andern noch denkbaren Fällen eben a α
sein würde. Alsdann aber führte die schon erwiesene Subsumtion a x α x
zu dem Widerspruche x 0 mit der Voraussetzung x ≠ 0.

Eine dritte Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen steht im
Dienste des Satzes von der „Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion
des Distributionsgesetzes“ — vergl. § 12 des Bd. 1, — für welche ich
im Anhang 4, 5 und 6 zwei Beweise erstmals gegeben habe, von denen
wenigstens der zweite, Bd. 1, S. 685 ff., sich ganz innerhalb des Rahmens
der logischen Disziplin selbst hielt und keines extralogischen Substrates
zu der Exemplifikation, auf die es ankommt, benötigte.

Die Wichtigkeit des gedachten Satzes beruht bekanntlich darauf,
dass durch ihn die selbständige Existenz jener Disziplin verbürgt ist,
die ich als einen „logischen Kalkul mit Gruppen“ oder kurz als
„Gruppenkalkul“ bezeichnete, um sie von „identischen Kalkul“ unter-
scheiden und diesem gegenüberstellen zu können.

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[409/0053] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. Bereich der beiden Werte 0 und 1 angewiesen sind, so müssen die Koeffizienten der gleichnamigen Glieder (resp. eines jeden Konstituenten) in beiden Funktionen einzeln übereinstimmen. Zwei mit den letzten analoge Sätze gelten schon über die Ein- ordnung, Subsumtion, zwischen derartigen Funktionen, nämlich erstens: Von zwei (homogenen linearen) Funktionen der nämlichen disjunkten Argumente kann die eine der andern nicht anders eingeordnet sein, als indem die gleichgesinnte (gleichstimmige) Einordnung zwischen je zwei gleichnamigen Gliedern der entwickelten Funktionen besteht, — gleichwie auch umgekehrt selbstverständlich — gemäss Th. 15), — wenn die Einordnung zwischen den homologen Gliedern durchgängig besteht, auch deren Summen, die Funktionen im Subsumtionsverhältnisse stehen müssen. In Zeichen: Wenn für x y = x z = … = y z = … = 0 ist: a x + b y + c z + … α x + β y + γ z + …, so muss sein a x α x, b y β y, c z γ z, …, (sowie umgekehrt). Beweis. Denn beiderseitiges Multipliziren mit x gibt wegen erst- erwähnter Voraussetzung a x x α x x oder a x α x, wie zu zeigen war, usw. Sind zweitens die Koeffizienten wieder auf das Gebiet der Werte 0 und 1 beschränkt, die Argumente aber von 0 verschieden, so folgt aus der Einordnung zwischen den Funktionen auch die im selben Sinn ge- nommene zwischen ihren homologen Koeffizienten, — sowie selbstverständ- lich auch das Umgekehrte zutreffen wird. Denn wäre bei a x α x und x ≠ 0 etwa a α, so müsste a = 1 und α = 0 sein, weil in den drei andern noch denkbaren Fällen eben a α sein würde. Alsdann aber führte die schon erwiesene Subsumtion a x α x zu dem Widerspruche x 0 mit der Voraussetzung x ≠ 0. Eine dritte Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen steht im Dienste des Satzes von der „Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes“ — vergl. § 12 des Bd. 1, — für welche ich im Anhang 4, 5 und 6 zwei Beweise erstmals gegeben habe, von denen wenigstens der zweite, Bd. 1, S. 685 ff., sich ganz innerhalb des Rahmens der logischen Disziplin selbst hielt und keines extralogischen Substrates zu der Exemplifikation, auf die es ankommt, benötigte. Die Wichtigkeit des gedachten Satzes beruht bekanntlich darauf, dass durch ihn die selbständige Existenz jener Disziplin verbürgt ist, die ich als einen „logischen Kalkul mit Gruppen“ oder kurz als „Gruppenkalkul“ bezeichnete, um sie von „identischen Kalkul“ unter- scheiden und diesem gegenüberstellen zu können.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 409. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/53>, abgerufen am 03.05.2024.