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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.

einfachere Subsumtionen, lehrt dieses Th. 41): welche Umformungen mit
einer Subsumtion vorgenommen werden dürfen, bei der umgekehrt das Sub-
jekt ein Produkt oder das Prädikat eine Summe ist. Für a = 1 resp. c = 0
geht zudem das Th. 41) über in die beiden Theoreme 38), von denen
es eine Zusammenfassung und zugleich Verallgemeinerung vorstellt.

Hiernach hat man nun für De Morgan's bekannte Theoreme:

36) (a b)1 = a1 + b1

(a + b)1 = a1 b1

den folgenden Peirce'schen

Beweis. Nach Th. 30) ist

(a b) (a b)1 = 0

1 = (a + b) + (a + b)1

oder nach Def. (1) und dem Assoziationsgesetz 13)

a b (a b)1 0

1 a + b + (a + b)1

Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht
den Faktor a (von links) nach rechts | das Glied a (von rechts) nach links,
so kommt:

b (a b)1 0 + a1 = a1

a1 · 1 = a1 b + (a + b)1,

und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird:

(a b)1 a1 + b1

a1 b1 (a + b)1,

womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er-
scheinen.

Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce den Schluss der Kontraposition gemäss Th. 37) an auf die
Theoreme 6):

a b a, a b b

a a + b, b a + b

wonach wir haben:

a1 (a b)1, b1 (a b)1

(a + b)1 a1, (a + b)1 b1

und sich nach Def. (3) in der That diese noch ausstehenden Subsumtionen:

a1 + b1 (a b)1

(a + b)1 a1 b1

ergeben, die sich endlich mit den vorhin gefundenen kraft Def. (1) zu
den Gleichungen zusammenziehen, welche zu beweisen gewesen.

Was ich von Begründungsweisen der elementaren Sätze unserer
Theorie sonst noch gerne in den Bd. 1 aufgenommen haben möchte,
ist vor allem folgendes.

Die Art, wie Herr Robert Grassmann die Eindeutigkeit der
Negation und den Satz 31) der doppelten Verneinung beweist, bildet eine
Variante der Bd. 1, S. 302 sq. und S. 305 von uns gegebenen Beweise,
welche keinen Gebrauch macht von dem Hülfstheorem 29), Bd. 1, S. 299.

Vierundzwanzigste Vorlesung.

Hiernach hat man nun für De Morgan’s bekannte Theoreme:

36) (a b)1 = a1 + b1

(a + b)1 = a1 b1

den folgenden Peirce’schen

Beweis. Nach Th. 30) ist

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oder nach Def. (1) und dem Assoziationsgesetz 13)

a b (a b)1 0

1 a + b + (a + b)1

Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht
den Faktor a (von links) nach rechts | das Glied a (von rechts) nach links,
so kommt:

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und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird:

(a b)1 a1 + b1

a1 b1 (a + b)1,

womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er-
scheinen.

Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce den Schluss der Kontraposition gemäss Th. 37) an auf die
Theoreme 6):

a b a, a b b

a a + b, b a + b

wonach wir haben:

a1 (a b)1, b1 (a b)1

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und sich nach Def. (3) in der That diese noch ausstehenden Subsumtionen:

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ergeben, die sich endlich mit den vorhin gefundenen kraft Def. (1) zu
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Was ich von Begründungsweisen der elementaren Sätze unserer
Theorie sonst noch gerne in den Bd. 1 aufgenommen haben möchte,
ist vor allem folgendes.

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[404/0048] Vierundzwanzigste Vorlesung. einfachere Subsumtionen, lehrt dieses Th. 41): welche Umformungen mit einer Subsumtion vorgenommen werden dürfen, bei der umgekehrt das Sub- jekt ein Produkt oder das Prädikat eine Summe ist. Für a = 1 resp. c = 0 geht zudem das Th. 41) über in die beiden Theoreme 38), von denen es eine Zusammenfassung und zugleich Verallgemeinerung vorstellt. Hiernach hat man nun für De Morgan’s bekannte Theoreme: 36) (a b)1 = a1 + b1 (a + b)1 = a1 b1 den folgenden Peirce’schen Beweis. Nach Th. 30) ist (a b) (a b)1 = 0 1 = (a + b) + (a + b)1 oder nach Def. (1) und dem Assoziationsgesetz 13) a b (a b)1 0 1 a + b + (a + b)1 Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht den Faktor a (von links) nach rechts | das Glied a (von rechts) nach links, so kommt: b (a b)1 0 + a1 = a1 a1 · 1 = a1 b + (a + b)1, und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird: (a b)1 a1 + b1 a1 b1 (a + b)1, womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er- scheinen. Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet Peirce den Schluss der Kontraposition gemäss Th. 37) an auf die Theoreme 6): a b a, a b b a a + b, b a + b wonach wir haben: a1 (a b)1, b1 (a b)1 (a + b)1 a1, (a + b)1 b1 und sich nach Def. (3) in der That diese noch ausstehenden Subsumtionen: a1 + b1 (a b)1 (a + b)1 a1 b1 ergeben, die sich endlich mit den vorhin gefundenen kraft Def. (1) zu den Gleichungen zusammenziehen, welche zu beweisen gewesen. Was ich von Begründungsweisen der elementaren Sätze unserer Theorie sonst noch gerne in den Bd. 1 aufgenommen haben möchte, ist vor allem folgendes. Die Art, wie Herr Robert Grassmann die Eindeutigkeit der Negation und den Satz 31) der doppelten Verneinung beweist, bildet eine Variante der Bd. 1, S. 302 sq. und S. 305 von uns gegebenen Beweise, welche keinen Gebrauch macht von dem Hülfstheorem 29), Bd. 1, S. 299.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 404. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/48>, abgerufen am 16.02.2025.

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