Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen:
32) (a = b) = (a1 = b1)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können.

Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,
den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen "Beweis" zu ver-
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber
als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce'schen Beweises erwies, als
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.

Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan'schen
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.

Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,
wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen-
gesetzte verwandelt.

Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-
dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. -- Wenn ich von neuem
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) "vom Dualismus"
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin -- vergl. S. 33 oben -- von
anderer Natur als die übrigen "Theoreme", eine Art von zunächst nur
empirisch anerkanntem "Prinzip" statuirt.*)

Das Theorem
38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0)
lässt sich in der That ohne weiteres -- z. B. dicht hinter das Th. 35) --
vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), IIIx oder 27) und 30)
voraussetzten.

Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann
jetzt angereiht werden das Theorem:
37) (a b) = (b1 a1)
mit den folgenden beiden Beweisen:

*) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.

Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen:
32) (a = b) = (a1 = b1)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können.

Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,
den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver-
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber
als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce’schen Beweises erwies, als
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.

Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan’schen
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.

Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,
wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen-
gesetzte verwandelt.

Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-
dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. — Wenn ich von neuem
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von
anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur
empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt.*)

Das Theorem
38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0)
lässt sich in der That ohne weiteres — z. B. dicht hinter das Th. 35) —
vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III× oder 27) und 30)
voraussetzten.

Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann
jetzt angereiht werden das Theorem:
37) (a b) = (b1 a1)
mit den folgenden beiden Beweisen:

*) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0046" n="402"/><fw place="top" type="header">Vierundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für<lb/><hi rendition="#i">Gleichungen</hi>:<lb/>
32) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</hi><lb/>
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum<lb/>
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu<lb/><hi rendition="#i">können</hi>.</p><lb/>
            <p>Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-<lb/>
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,<lb/>
den von Herrn <hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">5</hi> p. 27 für das Th. 37) gegebnen &#x201E;Beweis&#x201C; zu ver-<lb/>
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt<lb/>
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde<lb/>
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei<lb/>
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber<lb/>
als zusammenfallend mit dem Kern des <hi rendition="#g">Peirce&#x2019;</hi>schen Beweises erwies, als<lb/>
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.</p><lb/>
            <p>Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-<lb/>
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte<lb/>
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den <hi rendition="#g">De Morgan&#x2019;</hi>schen<lb/>
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-<lb/>
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.</p><lb/>
            <p>Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,<lb/>
wenn man <hi rendition="#i">die Reihenfolge der Theoreme</hi> 36), 37), 38) <hi rendition="#i">in die entgegen-<lb/>
gesetzte verwandelt</hi>.</p><lb/>
            <p>Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-<lb/>
dessen <hi rendition="#i">die bisherigen Chiffren</hi> der Sätze <hi rendition="#i">beibehalten</hi>. &#x2014; Wenn ich von neuem<lb/>
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) &#x201E;vom Dualismus&#x201C;<lb/>
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin &#x2014; vergl. S. 33 oben &#x2014; von<lb/>
anderer Natur als die übrigen &#x201E;Theoreme&#x201C;, eine Art von zunächst nur<lb/>
empirisch anerkanntem &#x201E;Prinzip&#x201C; statuirt.<note place="foot" n="*)">Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.</note></p><lb/>
            <p>Das <hi rendition="#g">Theorem</hi><lb/>
38) <hi rendition="#et">(1 <g ref="subeq"/> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> b</hi>) = (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <g ref="subeq"/> 0)</hi><lb/>
lässt sich in der That <hi rendition="#i">ohne weiteres</hi> &#x2014; z. B. dicht hinter das Th. 35) &#x2014;<lb/><hi rendition="#i">vorannehmen</hi>. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,<lb/>
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III<hi rendition="#sub">×</hi> oder 27) und 30)<lb/>
voraussetzten.</p><lb/>
            <p>Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann<lb/>
jetzt angereiht werden das <hi rendition="#g">Theorem</hi>:<lb/>
37) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> b</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <g ref="subeq"/> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</hi><lb/>
mit den folgenden beiden Beweisen:</p><lb/>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[402/0046] Vierundzwanzigste Vorlesung. es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für Gleichungen: 32) (a = b) = (a1 = b1) kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu können. Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die- selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte, den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver- stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce’schen Beweises erwies, als dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk. Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig- keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan’schen Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis- lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist. Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen, wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen- gesetzte verwandelt. Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in- dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. — Wenn ich von neuem zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“ unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt. *) Das Theorem 38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0) lässt sich in der That ohne weiteres — z. B. dicht hinter das Th. 35) — vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben, die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III× oder 27) und 30) voraussetzten. Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann jetzt angereiht werden das Theorem: 37) (a b) = (b1 a1) mit den folgenden beiden Beweisen: *) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/46
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 402. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/46>, abgerufen am 22.11.2024.