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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.

Sollen diese beiden Ausdrücke für ganz beliebige a, b, c einander
gleich sein, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten übereinstimmen:
p + r = p + q, p q + p1 s = p q, p q + q1 r = p r + q r1, q + s = p s + q s1,
p r = p r + p1 s, q r + r1 s = q r + q1 s, p s + r s1 = r + s, q s = r s.
Die acht Gleichungen lauten, rechts auf 0 gebracht:
p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0, p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0,
p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0, p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0,
und vereinigen sich zu der Gleichung
b2) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0,
oder zu dem Subsumtionenprodukt:
(s p) (q r1 + q1 r p s1).
Wir wollen diese Aussage die "Charakteristik" assoziativer Knüpfungen
nennen. Dieselbe ist symmetrisch allgemein nach p, q, r, s zu lösen.

Der Subsumtion s p wird auf die allgemeinste Weise genügt --
cf. Bd. 1, S. 504 --, indem man setzt:
s = k l, p = k + l,
s1 = k1 + l1, p1 = k1 l1,
wonach p s1 = k l1 + k1 l wird. Um der zweiten Forderung
q r1 + q1 r k l1 + k1 l
zu genügen, ist nunmehr ebenso zu bewirken, dass
q r1 + q1 r = a b,
k l1 + k1 l = a + b
wird. Nach Bd. 1, S. 513 sq. sind hiezu die Lösungen:

k = g a1 b1 + z (a + b)	q = d (a1 + b1) + e a b
l = g a1 b1 + z1 (a + b)	r = d (a1 + b1) + e1 a b
k1 = g1 a1 b1 + z1 (a + b)	q1 = d1 (a1 + b1) + e1 a b
l1 = g1 a1 b1 + z (a + b)	r1 = d1 (a1 + b1) + e a b

Hiermit wird dann
p = g + a + b, s = g a1 b1,
und z fällt ganz heraus; die allgemeinste assoziative Knüpfung im iden-
tischen Kalkul ist sonach diese:

b3)	x y = (a + b + g) x y + {(a1 + b1) d + a b e} x y1 + + {(a1 + b1) d + a b e1} x1 y + a1 b1 g x1 y1, x y = a1 b1 g1 x y + {(a1 + b1) d1 + a b e1} x y1 + + {(a1 + b1) d1 + a b e} x1 y + (a + b + g1) x1 y1,

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.

Sollen diese beiden Ausdrücke für ganz beliebige a, b, c einander
gleich sein, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten übereinstimmen:
p + r = p + q, p q + p1 s = p q, p q + q1 r = p r + q r1, q + s = p s + q s1,
p r = p r + p1 s, q r + r1 s = q r + q1 s, p s + r s1 = r + s, q s = r s.
Die acht Gleichungen lauten, rechts auf 0 gebracht:
p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0, p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0,
p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0, p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0,
und vereinigen sich zu der Gleichung
β2) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0,
oder zu dem Subsumtionenprodukt:
(s p) (q r1 + q1 r p s1).
Wir wollen diese Aussage die „Charakteristik“ assoziativer Knüpfungen
nennen. Dieselbe ist symmetrisch allgemein nach p, q, r, s zu lösen.

Der Subsumtion s p wird auf die allgemeinste Weise genügt —
cf. Bd. 1, S. 504 —, indem man setzt:
s = ϰ λ, p = ϰ + λ,
s1 = ϰ1 + λ1, p1 = ϰ1 λ1,
wonach p s1 = ϰ λ1 + ϰ1 λ wird. Um der zweiten Forderung
q r1 + q1 r ϰ λ1 + ϰ1 λ
zu genügen, ist nunmehr ebenso zu bewirken, dass
q r1 + q1 r = α β,
ϰ λ1 + ϰ1 λ = α + β
wird. Nach Bd. 1, S. 513 sq. sind hiezu die Lösungen:

ϰ = γ α1 β1 + ζ (α + β)	q = δ (α1 + β1) + ε α β
λ = γ α1 β1 + ζ1 (α + β)	r = δ (α1 + β1) + ε1 α β
ϰ1 = γ1 α1 β1 + ζ1 (α + β)	q1 = δ1 (α1 + β1) + ε1 α β
λ1 = γ1 α1 β1 + ζ (α + β)	r1 = δ1 (α1 + β1) + ε α β

Hiermit wird dann
p = γ + α + β, s = γ α1 β1,
und ζ fällt ganz heraus; die allgemeinste assoziative Knüpfung im iden-
tischen Kalkul ist sonach diese:

β3)	x ∘ y = (α + β + γ) x y + {(α1 + β1) δ + α β ε} x y1 + + {(α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y + α1 β1 γ x1 y1, x̅ ∘̅ y̅ = α1 β1 γ1 x y + {(α1 + β1) δ1 + α β ε1} x y1 + + {(α1 + β1) δ1 + α β ε} x1 y + (α + β + γ1) x1 y1,

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[495/0139] § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Sollen diese beiden Ausdrücke für ganz beliebige a, b, c einander gleich sein, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten übereinstimmen: p + r = p + q, p q + p1 s = p q, p q + q1 r = p r + q r1, q + s = p s + q s1, p r = p r + p1 s, q r + r1 s = q r + q1 s, p s + r s1 = r + s, q s = r s. Die acht Gleichungen lauten, rechts auf 0 gebracht: p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0, p1 (q r1 + q1 r) = 0, p1 s = 0, p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0, p1 s = 0, (q r1 + q1 r) s = 0, und vereinigen sich zu der Gleichung β2) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0, oder zu dem Subsumtionenprodukt: (s p) (q r1 + q1 r p s1). Wir wollen diese Aussage die „Charakteristik“ assoziativer Knüpfungen nennen. Dieselbe ist symmetrisch allgemein nach p, q, r, s zu lösen. Der Subsumtion s p wird auf die allgemeinste Weise genügt — cf. Bd. 1, S. 504 —, indem man setzt: s = ϰ λ, p = ϰ + λ, s1 = ϰ1 + λ1, p1 = ϰ1 λ1, wonach p s1 = ϰ λ1 + ϰ1 λ wird. Um der zweiten Forderung q r1 + q1 r ϰ λ1 + ϰ1 λ zu genügen, ist nunmehr ebenso zu bewirken, dass q r1 + q1 r = α β, ϰ λ1 + ϰ1 λ = α + β wird. Nach Bd. 1, S. 513 sq. sind hiezu die Lösungen: ϰ = γ α1 β1 + ζ (α + β) q = δ (α1 + β1) + ε α β λ = γ α1 β1 + ζ1 (α + β) r = δ (α1 + β1) + ε1 α β ϰ1 = γ1 α1 β1 + ζ1 (α + β) q1 = δ1 (α1 + β1) + ε1 α β λ1 = γ1 α1 β1 + ζ (α + β) r1 = δ1 (α1 + β1) + ε α β Hiermit wird dann p = γ + α + β, s = γ α1 β1, und ζ fällt ganz heraus; die allgemeinste assoziative Knüpfung im iden- tischen Kalkul ist sonach diese: β3)x ∘ y = (α + β + γ) x y + {(α1 + β1) δ + α β ε} x y1 + + {(α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y + α1 β1 γ x1 y1, x̅ ∘̅ y̅ = α1 β1 γ1 x y + {(α1 + β1) δ1 + α β ε1} x y1 + + {(α1 + β1) δ1 + α β ε} x1 y + (α + β + γ1) x1 y1,

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 495. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/139>, abgerufen am 27.04.2024.

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