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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Sechsundzwanzigste Vorlesung.
wird. Wer daraus aber, nach dem unbestreitbaren Grundsatz: Gleiches,
summirt, gibt Gleiches, auf
S x = S a
schliessen wollte, beginge einen gröblichen Fehlschluss, da in beiden Summen
wol die ersten Glieder übereinstimmen, darum aber noch nicht notwendig
auch die übrigen. -- Und wer andererseits richtig
S x S a
neben x = a anerkennte, stiesse auf die Paradoxie eines (natürlich nur
scheinbaren) Widerspruches zu obigem Grundsatze, (oder wol auch zu dem
andern Grundsatz, dass Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe).

All diese Schwierigkeiten entspringen aus dem Umstand, dass eine
Summe durch ihr erstes Glied nur unzulänglich bezeichnet ist.

Das zweite Beispiel -- von Herrn Lüroth -- bezieht sich auf einen
Satz der Differentialrechnung, bei dessen Anwendung der Anfänger Schwierig-
keiten zu finden pflegt; letztere beruhen auf der Unzulänglichkeit der ge-
bräuchlichen Bezeichnung partieller Differentialquotienten. Ist z. B. f eine
Funktion dreier Argumente x, y, z:
f = f (x, y, z),
und werden durch die Substitutionen
x = ph (u, v, w), y = ps (u, v, w), z = kh (u, v, w)
für x, y, z neue Variable u, v, w in
f = f (ph, ps, kh)
eingeführt, so besagt der gedachte Satz:
[Formel 1] und analog für [Formel 2] , [Formel 3] . -- Nimmt man nun beispielsweise
x = u, y = u v, z = w,
so ergibt sich leicht:
[Formel 4] ,
[Formel 5] .
Die letzte Gleichung scheint aus w = z als selbstverständliche zu folgen.
Dem gegenüber enthält jedoch die erste das Paradoxon, dass
[Formel 6] obwol u = x ist, -- entgegen dem evidenten Grundsatze, dass Gleiches nach
Gleichem differenzirt Gleiches geben müsse, oder dass man Gleiches für
Gleiches setzen dürfe. (Daran würde sich nichts ändern, wenn man für

Sechsundzwanzigste Vorlesung.
wird. Wer daraus aber, nach dem unbestreitbaren Grundsatz: Gleiches,
summirt, gibt Gleiches, auf
Σ x = Σ a
schliessen wollte, beginge einen gröblichen Fehlschluss, da in beiden Summen
wol die ersten Glieder übereinstimmen, darum aber noch nicht notwendig
auch die übrigen. — Und wer andererseits richtig
Σ x ≠ Σ a
neben x = a anerkennte, stiesse auf die Paradoxie eines (natürlich nur
scheinbaren) Widerspruches zu obigem Grundsatze, (oder wol auch zu dem
andern Grundsatz, dass Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe).

All diese Schwierigkeiten entspringen aus dem Umstand, dass eine
Summe durch ihr erstes Glied nur unzulänglich bezeichnet ist.

Das zweite Beispiel — von Herrn Lüroth — bezieht sich auf einen
Satz der Differentialrechnung, bei dessen Anwendung der Anfänger Schwierig-
keiten zu finden pflegt; letztere beruhen auf der Unzulänglichkeit der ge-
bräuchlichen Bezeichnung partieller Differentialquotienten. Ist z. B. f eine
Funktion dreier Argumente x, y, z:
f = f (x, y, z),
und werden durch die Substitutionen
x = φ (u, v, w), y = ψ (u, v, w), z = χ (u, v, w)
für x, y, z neue Variable u, v, w in
f = f (φ, ψ, χ)
eingeführt, so besagt der gedachte Satz:
[Formel 1] und analog für [Formel 2] , [Formel 3] . — Nimmt man nun beispielsweise
x = u, y = u v, z = w,
so ergibt sich leicht:
[Formel 4] ,
[Formel 5] .
Die letzte Gleichung scheint aus w = z als selbstverständliche zu folgen.
Dem gegenüber enthält jedoch die erste das Paradoxon, dass
[Formel 6] obwol u = x ist, — entgegen dem evidenten Grundsatze, dass Gleiches nach
Gleichem differenzirt Gleiches geben müsse, oder dass man Gleiches für
Gleiches setzen dürfe. (Daran würde sich nichts ändern, wenn man für

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[474/0118] Sechsundzwanzigste Vorlesung. wird. Wer daraus aber, nach dem unbestreitbaren Grundsatz: Gleiches, summirt, gibt Gleiches, auf Σ x = Σ a schliessen wollte, beginge einen gröblichen Fehlschluss, da in beiden Summen wol die ersten Glieder übereinstimmen, darum aber noch nicht notwendig auch die übrigen. — Und wer andererseits richtig Σ x ≠ Σ a neben x = a anerkennte, stiesse auf die Paradoxie eines (natürlich nur scheinbaren) Widerspruches zu obigem Grundsatze, (oder wol auch zu dem andern Grundsatz, dass Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe). All diese Schwierigkeiten entspringen aus dem Umstand, dass eine Summe durch ihr erstes Glied nur unzulänglich bezeichnet ist. Das zweite Beispiel — von Herrn Lüroth — bezieht sich auf einen Satz der Differentialrechnung, bei dessen Anwendung der Anfänger Schwierig- keiten zu finden pflegt; letztere beruhen auf der Unzulänglichkeit der ge- bräuchlichen Bezeichnung partieller Differentialquotienten. Ist z. B. f eine Funktion dreier Argumente x, y, z: f = f (x, y, z), und werden durch die Substitutionen x = φ (u, v, w), y = ψ (u, v, w), z = χ (u, v, w) für x, y, z neue Variable u, v, w in f = f (φ, ψ, χ) eingeführt, so besagt der gedachte Satz: [FORMEL] und analog für [FORMEL], [FORMEL]. — Nimmt man nun beispielsweise x = u, y = u v, z = w, so ergibt sich leicht: [FORMEL], [FORMEL]. Die letzte Gleichung scheint aus w = z als selbstverständliche zu folgen. Dem gegenüber enthält jedoch die erste das Paradoxon, dass [FORMEL] obwol u = x ist, — entgegen dem evidenten Grundsatze, dass Gleiches nach Gleichem differenzirt Gleiches geben müsse, oder dass man Gleiches für Gleiches setzen dürfe. (Daran würde sich nichts ändern, wenn man für

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 474. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/118>, abgerufen am 28.04.2024.