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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Fünfzehnte Vorlesung.
daselbst nur wenigstens ein Subsumtionszeichen übrig bleibt -- in Er-
weiterung der Theoreme 2) und 3).

Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen:
(3x) (a0 a1) (a0 a2) ... (a0 an) = (a0 a1 a2 ... an)
(3+) (a1 a0) (a2 a0) ... (an a0) = (a1 + a2 + ... + an a0)
ziehen sich zusammen zu:

[Tabelle]
und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu
der Formel:
(3) [Formel 1] .
Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das
innere P-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten
Produktes erhält man:
[Formel 2] -- einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den
als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht.

Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17):
17x) (a1 b1) (a2 b2) ... (an bn) (a1 a2 ... an b1 b2 ... bn)
17+) (a1 b1) (a2 b2) ... (an bn) (a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn)
zusammen zu:

[Tabelle]
wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions-
zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; -- in Erweiterung
der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich
namentlich, wenn man beiderseits alle Zeichen in = verwandelt) das
mittlere oder freie aber stehen lässt).

Die Ausdehnungen der Theoreme 24):
24+) (a1 = 0) (a2 = 0) ... (an = 0) = (a1 + a2 + ... + an = 0)
24x) (a1 a2 ... an = 1) = (a1 = 1) (a2 = 1) ... (an = 1)
stellen sich dar als:

Fünfzehnte Vorlesung.
daselbst nur wenigstens ein Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er-
weiterung der Theoreme 2) und 3).

Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen:
(3×) (a0 ⊆ a1) (a0 ⊆ a2) … (a0 ⊆ an) = (a0 ⊆ a1 a2 … an)
(3+) (a1 ⊆ a0) (a2 ⊆ a0) … (an ⊆ a0) = (a1 + a2 + … + an ⊆ a0)
ziehen sich zusammen zu:

[Tabelle]
und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu
der Formel:
(3) [Formel 1] .
Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das
innere Π-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten
Produktes erhält man:
[Formel 2] — einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den
als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht.

Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17):
17×) (a1 ⊆ b1) (a2 ⊆ b2) … (an ⊆ bn) ⊆ (a1 a2 … an ⊆ b1 b2 … bn)
17+) (a1 ⊆ b1) (a2 ⊆ b2) … (an ⊆ bn) ⊆ (a1 + a2 + … + an ⊆ b1 + b2 + … + bn)
zusammen zu:

[Tabelle]
wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions-
zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung
der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich
namentlich, wenn man beiderseits alle Zeichen ⊆ in = verwandelt) das
mittlere oder freie ⊆ aber stehen lässt).

Die Ausdehnungen der Theoreme 24):
24+) (a1 = 0) (a2 = 0) … (an = 0) = (a1 + a2 + … + an = 0)
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[38/0062] Fünfzehnte Vorlesung. daselbst nur wenigstens ein Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er- weiterung der Theoreme 2) und 3). Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen: (3×) (a0  a1) (a0  a2) … (a0  an) = (a0  a1 a2 … an) (3+) (a1  a0) (a2  a0) … (an  a0) = (a1 + a2 + … + an  a0) ziehen sich zusammen zu: und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu der Formel: (3) [FORMEL]. Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das innere Π-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten Produktes erhält man: [FORMEL] — einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht. Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17): 17×) (a1  b1) (a2  b2) … (an  bn)  (a1 a2 … an  b1 b2 … bn) 17+) (a1  b1) (a2  b2) … (an  bn)  (a1 + a2 + … + an  b1 + b2 + … + bn) zusammen zu: wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions- zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich namentlich, wenn man beiderseits alle Zeichen  in = verwandelt) das mittlere oder freie  aber stehen lässt). Die Ausdehnungen der Theoreme 24): 24+) (a1 = 0) (a2 = 0) … (an = 0) = (a1 + a2 + … + an = 0) 24×) (a1 a2 … an = 1) = (a1 = 1) (a2 = 1) … (an = 1) stellen sich dar als:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 38. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/62>, abgerufen am 27.04.2024.