Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Fünfzehnte Vorlesung.

°46₊) Th. (Schröder) (a x + b x₁)₁ = a₁ x + b₁ x₁,
(a x y + b x y₁ + c x₁ y + d x₁ y₁)₁ = a₁ x y + b₁ x y₁ + c₁ x₁ y + d₁ x₁ y₁, Etc.
Hülfstheorem zu Th. 47₊) von Schröder:
(a ⊆ x ⊆ b) = (a x₁ + b x = x)

47₊) Th. desgl.
(a ⊆ x ⊆ b) = (a ⊆ b) [Formel 1] (x = a w₁ + b w)

°48₊) Th. a b ⊆ a x + b x₁ ⊆ a + b,
a b c d ⊆ a x y + b x y₁ + c x₁ y + d x₁ y₁ ⊆ a + b + b + c + d,
Etc. Diese Formeln drücken eigentlich noch nicht den ganzen Inhalt
des Theorems 48₊) aus; um dies zu leisten müsste vielmehr die erste
ersetzt werden durch:
a b ⊆ y ⊆ a + b) = [Formel 2] (y = a x + b x₁)
und würden analog mit [Formel 3] etc. die folgenden umzuschreiben sein.

Zusatz:
[Formel 4] (a u v + b u v₁ + c u₁ v + d u₁ v₁) = [Formel 5] {a b c d + w (a + b + c + d)}.

49₊) Th. (a x + b x₁ = 0) = (b ⊆ x ⊆ a₁),
oder, wenn man will = (b ⊆ a₁) (b ⊆ x) (x ⊆ a₁).

Ferner ist hierzu anzuführen das Hülfstheorem des § 24 (Bd. 1,
S. 502):
(a x + b x₁ = 0) = (x = b x₁ + a₁ x),
und erscheint noch als eine nützliche Umschreibung (und Zusammen-
fassung) der beiden letzten Theoreme:
(a x + b x₁ = 1) = (b₁ ⊆ x ⊆ a) = (x = a x + b₁ x₁).

50₊) Th. (Boole und Schröder):
(a x + b x₁ = 0) = (a b = 0) [Formel 6] (x = b u₁ + a₁ u).

Hier hörte unsre Chiffrirung auf. Als Theoreme 51) mögen
noch angeführt sein die Ergebnisse aus dem § 23:

51_× Th. (b x = a) = (a ⊆ b) [Formel 7] {x = a + u b₁} |
| 51₊) Th. (b + x = a) = (b ⊆ a) [Formel 8] {x = a (b₁ + u)}
nebst den Zusätzen:

(b x = a) (b + x = 1) = = (a b_1 = 0) (x = a + b_1)

(b + x = a) (b x = 0) = = (a_1 b = 0) (x = a b_1).