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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
behufs deren rechnerischer Verifikation man lediglich von den Theo-
remen Th. 33+) Zusatz, und mit Rücksicht auf die Voraussetzungen:
i1 a, i2 a i11, i3 a i11 i12, ... ir a i11 i12 i13 ... i1r -- 1
auch von dem in Th. 20+) mitenthaltenen Satze:
(b a) (b + a = a)
Gebrauch zu machen hätte.

Nennen wir nun das letzte Glied der obigen allgemeinen Dar-
stellung kh) von a für den Augenblick "das rte Residuum der Klasse a",
so würde doch auf Grund des Postulates ((4)) allein niemals der Nach-
weis zu erbringen sein, dass bei hinreichend weit getriebener, nötigenfalls
unbegrenzter Fortsetzung des vorstehend geschilderten Folgerungsver-
fahrens (oder Prozesses des Schliessens) das Residuum der Klasse
schliesslich*) = 0 werden müsse.

Wir dürften uns daher wol genötigt sehen, dem obigen Postu-
late ((4)) noch ein zweites hinzuzufügen, welches als die Anerkennung
formulirt werden kann:

Postulat ((5)): dass das identische Produkt jeder Klasse in die
Negationen sämtlicher in ihr enthaltenen Individuen verschwindet, m. a. W.
dass wir imstande seien, bei irgend einer vorgelegten Klasse, einem
Gebiete, den Prozess der Residuenbildung wenigstens in der Idee (wenn
auch nicht in der Praxis) solange fortzusetzen, bis wir auf das Resi-
duum 0 kommen.

Darnach wird denn in der That das Residuum der Klasse, welches
nach Absonderung von mehr und mehrern ihrer Individuen von ihr
übrig bleibt, zuletzt zu vernachlässigen sein, und mögen wir auch
unsre beiden Postulate in das eine zusammenfassen:

Postulat ((4)). ((5)): Jede von 0 verschiedene (nicht inhaltsleere)
Klasse lässt sich darstellen als eine identische Summe von lauter (unter
sich verschiedenen) Individuen.

Jedes räumliche Gebiet insbesondere kann angesehen werden als
ganz und gar zusammengesetzt aus mathematischen Punkten -- des-
gleichen jedes zeitliche Gebiet aus Augenblicken [und jede ("stetige")
Mannigfaltigkeit (auch) überhaupt aus ihren Elementen].

Und zwar erscheint der "mathematische Punkt" hierselbst als ein
wohldefinirter Begriff: Als bekannt sollte ja gelten, was unter einem
räumlichen Gebiete, Raumteil zu verstehen ist. Ich sage hiefür mit Ab-

*) NB. Was heisst jedoch in dem letzteren Falle, auf den mit "nötigenfalls"
hingewiesen ist, dieses "schliesslich"?

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
behufs deren rechnerischer Verifikation man lediglich von den Theo-
remen Th. 33+) Zusatz, und mit Rücksicht auf die Voraussetzungen:
i1 ⊆ a, i2 ⊆ a i11, i3 ⊆ a i11 i12, … ir ⊆ a i11 i12 i13 … i1r — 1
auch von dem in Th. 20+) mitenthaltenen Satze:
(b ⊆ a) ⊆ (b + a = a)
Gebrauch zu machen hätte.

Nennen wir nun das letzte Glied der obigen allgemeinen Dar-
stellung χ) von a für den Augenblick „das rte Residuum der Klasse a“,
so würde doch auf Grund des Postulates ((4)) allein niemals der Nach-
weis zu erbringen sein, dass bei hinreichend weit getriebener, nötigenfalls
unbegrenzter Fortsetzung des vorstehend geschilderten Folgerungsver-
fahrens (oder Prozesses des Schliessens) das Residuum der Klasse
schliesslich*) = 0 werden müsse.

Wir dürften uns daher wol genötigt sehen, dem obigen Postu-
late ((4)) noch ein zweites hinzuzufügen, welches als die Anerkennung
formulirt werden kann:

Postulat ((5)): dass das identische Produkt jeder Klasse in die
Negationen sämtlicher in ihr enthaltenen Individuen verschwindet, m. a. W.
dass wir imstande seien, bei irgend einer vorgelegten Klasse, einem
Gebiete, den Prozess der Residuenbildung wenigstens in der Idee (wenn
auch nicht in der Praxis) solange fortzusetzen, bis wir auf das Resi-
duum 0 kommen.

Darnach wird denn in der That das Residuum der Klasse, welches
nach Absonderung von mehr und mehrern ihrer Individuen von ihr
übrig bleibt, zuletzt zu vernachlässigen sein, und mögen wir auch
unsre beiden Postulate in das eine zusammenfassen:

Postulat ((4)). ((5)): Jede von 0 verschiedene (nicht inhaltsleere)
Klasse lässt sich darstellen als eine identische Summe von lauter (unter
sich verschiedenen) Individuen.

Jedes räumliche Gebiet insbesondere kann angesehen werden als
ganz und gar zusammengesetzt aus mathematischen Punkten — des-
gleichen jedes zeitliche Gebiet aus Augenblicken [und jede („stetige“)
Mannigfaltigkeit (auch) überhaupt aus ihren Elementen].

Und zwar erscheint der „mathematische Punkt“ hierselbst als ein
wohldefinirter Begriff: Als bekannt sollte ja gelten, was unter einem
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*) NB. Was heisst jedoch in dem letzteren Falle, auf den mit „nötigenfalls“
hingewiesen ist, dieses „schliesslich“?
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[338/0362] Zweiundzwanzigste Vorlesung. behufs deren rechnerischer Verifikation man lediglich von den Theo- remen Th. 33+) Zusatz, und mit Rücksicht auf die Voraussetzungen: i1  a, i2  a i11, i3  a i11 i12, … ir  a i11 i12 i13 … i1r — 1 auch von dem in Th. 20+) mitenthaltenen Satze: (b  a)  (b + a = a) Gebrauch zu machen hätte. Nennen wir nun das letzte Glied der obigen allgemeinen Dar- stellung χ) von a für den Augenblick „das rte Residuum der Klasse a“, so würde doch auf Grund des Postulates ((4)) allein niemals der Nach- weis zu erbringen sein, dass bei hinreichend weit getriebener, nötigenfalls unbegrenzter Fortsetzung des vorstehend geschilderten Folgerungsver- fahrens (oder Prozesses des Schliessens) das Residuum der Klasse schliesslich *) = 0 werden müsse. Wir dürften uns daher wol genötigt sehen, dem obigen Postu- late ((4)) noch ein zweites hinzuzufügen, welches als die Anerkennung formulirt werden kann: Postulat ((5)): dass das identische Produkt jeder Klasse in die Negationen sämtlicher in ihr enthaltenen Individuen verschwindet, m. a. W. dass wir imstande seien, bei irgend einer vorgelegten Klasse, einem Gebiete, den Prozess der Residuenbildung wenigstens in der Idee (wenn auch nicht in der Praxis) solange fortzusetzen, bis wir auf das Resi- duum 0 kommen. Darnach wird denn in der That das Residuum der Klasse, welches nach Absonderung von mehr und mehrern ihrer Individuen von ihr übrig bleibt, zuletzt zu vernachlässigen sein, und mögen wir auch unsre beiden Postulate in das eine zusammenfassen: Postulat ((4)). ((5)): Jede von 0 verschiedene (nicht inhaltsleere) Klasse lässt sich darstellen als eine identische Summe von lauter (unter sich verschiedenen) Individuen. Jedes räumliche Gebiet insbesondere kann angesehen werden als ganz und gar zusammengesetzt aus mathematischen Punkten — des- gleichen jedes zeitliche Gebiet aus Augenblicken [und jede („stetige“) Mannigfaltigkeit (auch) überhaupt aus ihren Elementen]. Und zwar erscheint der „mathematische Punkt“ hierselbst als ein wohldefinirter Begriff: Als bekannt sollte ja gelten, was unter einem räumlichen Gebiete, Raumteil zu verstehen ist. Ich sage hiefür mit Ab- *) NB. Was heisst jedoch in dem letzteren Falle, auf den mit „nötigenfalls“ hingewiesen ist, dieses „schliesslich“?

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 338. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/362>, abgerufen am 24.11.2024.