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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
auch solch aparte Benennung für die Individuumsnegation als kein
sehr dringendes Bedürfniss erscheint. --

Im Bisherigen wurde -- wie ich hoffe der Hauptsache nach --
die Theorie der Eigenschaften des Individuums erledigt insoweit es
nötig fällt, ein solches in's Auge zu fassen. Wir könnten freilich
dieser noch manche Sätze zufügen, wie z. B.:
(i a) = 0,
etc. wollten wir noch andere Beziehungszeichen, als die bisher ver-
wendeten, mit in den Kreis der Betrachtungen ziehen.

Systematisch hätte sich dieser nunmehr anzureihen die Theorie
derjenigen Sätze welche handeln von mehreren Individuen zugleich.

Solche Sätze, wie:
ph) (i1 i2) = 0, (i1 i2) = 0,
(i1 i2) = (i1 = i2), (i1 i2) = (i1 i2 = 0),
(i1 i2 + i3 + ...) = (i1 = i2) + (i1 = i3) + ...
lassen sich auf dem nunmehr gewonnenen Standpunkte jeweils mit
grosser Leichtigkeit -- und ohne je ein neues Prinzip, Postulat oder
Axiom erforderlich zu machen -- auf die Grundlagen des bisherigen
Kalkuls zurückführen, aus diesen selbst beweisen.

Sie pflegen jedoch auch ohne solche Zurückführung einen unge-
heuren Grad von unmittelbar einleuchtender Evidenz zu besitzen.

Was den Beweis der vorstehenden betrifft, so gibt auf den Typus der
Gleichung und Ungleichung gemäss § 36 reduzirt:
(i1 i2) = (i1 i12 = 0) (i11 i2 0)
und kann nach e) -- darin a mit i12 resp. i11 identifizirt -- der erste
Faktor in (i1 i2 0), der zweite in (i1 i2 = 0) umgeschrieben werden, wo
dann beide einander direkt widersprechen, die Inkonsistenz
(i1 i2 0) (i1 i2 = 0) = 0
zusammensetzend. Man mag indess auch nach der ersten Formel s):
(i1 i2) in (i1 = 0) umschreiben, was mit dem zufügbaren Faktor
i, = (i1 0) die Inkonsistenz liefern, das Produkt 0 geben wird. Ähnlich
läuft (i1 i2) auf eine Inkonsistenz hinaus.

Ferner ist nun
(i1 i2) = (i1 i2) + (i1 = i2),
worin die erste Glied-Aussage rechts soeben als = 0 erwiesen worden.

Nachdem so auch die dritte Formel ph) bewiesen, haben wir nach
dieser mittelst Kontraposition: (i1 i2) = (i1 i2), und dies ist nach i)
gleich (i1 i12) mithin = (i1 i2 = 0), q. e. d.

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
auch solch aparte Benennung für die Individuumsnegation als kein
sehr dringendes Bedürfniss erscheint. —

Im Bisherigen wurde — wie ich hoffe der Hauptsache nach —
die Theorie der Eigenschaften des Individuums erledigt insoweit es
nötig fällt, ein solches in’s Auge zu fassen. Wir könnten freilich
dieser noch manche Sätze zufügen, wie z. B.:
(i ⊆ a) = 0,
etc. wollten wir noch andere Beziehungszeichen, als die bisher ver-
wendeten, mit in den Kreis der Betrachtungen ziehen.

Systematisch hätte sich dieser nunmehr anzureihen die Theorie
derjenigen Sätze welche handeln von mehreren Individuen zugleich.

Solche Sätze, wie:
φ) (i1 ⊂ i2) = 0, (i1 ⊆ i2) = 0,
(i1 ⊆ i2) = (i1 = i2), (i1 ≠ i2) = (i1 i2 = 0),
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lassen sich auf dem nunmehr gewonnenen Standpunkte jeweils mit
grosser Leichtigkeit — und ohne je ein neues Prinzip, Postulat oder
Axiom erforderlich zu machen — auf die Grundlagen des bisherigen
Kalkuls zurückführen, aus diesen selbst beweisen.

Sie pflegen jedoch auch ohne solche Zurückführung einen unge-
heuren Grad von unmittelbar einleuchtender Evidenz zu besitzen.

Was den Beweis der vorstehenden betrifft, so gibt auf den Typus der
Gleichung und Ungleichung gemäss § 36 reduzirt:
(i1 ⊂ i2) = (i1 i12 = 0) (i11 i2 ≠ 0)
und kann nach η) — darin a mit i12 resp. i11 identifizirt — der erste
Faktor in (i1 i2 ≠ 0), der zweite in (i1 i2 = 0) umgeschrieben werden, wo
dann beide einander direkt widersprechen, die Inkonsistenz
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zusammensetzend. Man mag indess auch nach der ersten Formel σ):
(i1 ⊂ i2) in (i1 = 0) umschreiben, was mit dem zufügbaren Faktor
i, = (i1 ≠ 0) die Inkonsistenz liefern, das Produkt 0 geben wird. Ähnlich
läuft (i1 ⊆ i2) auf eine Inkonsistenz hinaus.

Ferner ist nun
(i1 ⊆ i2) = (i1 ⊂ i2) + (i1 = i2),
worin die erste Glied-Aussage rechts soeben als = 0 erwiesen worden.

Nachdem so auch die dritte Formel φ) bewiesen, haben wir nach
dieser mittelst Kontraposition: (i1 ≠ i2) = (i1 ⊆ i2), und dies ist nach ι)
gleich (i1 ⊆ i12) mithin = (i1 i2 = 0), q. e. d.

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[336/0360] Zweiundzwanzigste Vorlesung. auch solch aparte Benennung für die Individuumsnegation als kein sehr dringendes Bedürfniss erscheint. — Im Bisherigen wurde — wie ich hoffe der Hauptsache nach — die Theorie der Eigenschaften des Individuums erledigt insoweit es nötig fällt, ein solches in’s Auge zu fassen. Wir könnten freilich dieser noch manche Sätze zufügen, wie z. B.: (i  a) = 0, etc. wollten wir noch andere Beziehungszeichen, als die bisher ver- wendeten, mit in den Kreis der Betrachtungen ziehen. Systematisch hätte sich dieser nunmehr anzureihen die Theorie derjenigen Sätze welche handeln von mehreren Individuen zugleich. Solche Sätze, wie: φ) (i1 ⊂ i2) = 0, (i1  i2) = 0, (i1  i2) = (i1 = i2), (i1 ≠ i2) = (i1 i2 = 0), (i1  i2 + i3 + …) = (i1 = i2) + (i1 = i3) + … lassen sich auf dem nunmehr gewonnenen Standpunkte jeweils mit grosser Leichtigkeit — und ohne je ein neues Prinzip, Postulat oder Axiom erforderlich zu machen — auf die Grundlagen des bisherigen Kalkuls zurückführen, aus diesen selbst beweisen. Sie pflegen jedoch auch ohne solche Zurückführung einen unge- heuren Grad von unmittelbar einleuchtender Evidenz zu besitzen. Was den Beweis der vorstehenden betrifft, so gibt auf den Typus der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36 reduzirt: (i1 ⊂ i2) = (i1 i12 = 0) (i11 i2 ≠ 0) und kann nach η) — darin a mit i12 resp. i11 identifizirt — der erste Faktor in (i1 i2 ≠ 0), der zweite in (i1 i2 = 0) umgeschrieben werden, wo dann beide einander direkt widersprechen, die Inkonsistenz (i1 i2 ≠ 0) (i1 i2 = 0) = 0 zusammensetzend. Man mag indess auch nach der ersten Formel σ): (i1 ⊂ i2) in (i1 = 0) umschreiben, was mit dem zufügbaren Faktor i, = (i1 ≠ 0) die Inkonsistenz liefern, das Produkt 0 geben wird. Ähnlich läuft (i1  i2) auf eine Inkonsistenz hinaus. Ferner ist nun (i1  i2) = (i1 ⊂ i2) + (i1 = i2), worin die erste Glied-Aussage rechts soeben als = 0 erwiesen worden. Nachdem so auch die dritte Formel φ) bewiesen, haben wir nach dieser mittelst Kontraposition: (i1 ≠ i2) = (i1  i2), und dies ist nach ι) gleich (i1  i12) mithin = (i1 i2 = 0), q. e. d.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 336. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/360>, abgerufen am 24.11.2024.