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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
a i noch b i, wofern nur c i1 und d i1 von 0 verschieden, also a und
b dem i wirklich übergeordnet genommen werden -- eine Anforderung,
welche in Verbindung mit der c d = p für Gebiete im Allgemeinen leicht
zu erfüllen ist (wofern nämlich nur die Mannigfaltigkeit 1 neben i noch
mindestens zwei Individuen enthält wo dann schon die Annahme: a = i + i2,
b = i + i3 genügen wird). Die Konklusion also zeigt sich als gleichwol
nicht erfüllt und der Satz kann keine Geltung haben.

Der Umstand, dass hienach vom Individuum i der Satz t) gilt,
der dazu gebietsduale Satz ?) aber nicht gilt, lässt erkennen, dass der
Begriff des Individuums gebietsdual sich selber nicht entsprechen kann.

Dies zeigt auch die Inspektion, genauere Ansicht der Def. (b)
selber.

Sehen wir in der That zu, was dieser Definition -- oder, noch
besser, der (l) -- gebietsdual für eine Definition entsprechen würde,
d. h. schreiben wir dieselbe einmal gebietsdual um! Das hiebei ein-
zuhaltende Verfahren ist vom Schlusse des § 30 in Erinnerung zu
bringen.

Dasselbe würde uns liefern:
(l`) (i` 1) [Formel 1] {(x i`) + (x1 i`)} = i.
Wir haben gleichzeitig i` für i gesagt, weil es nicht mehr ein Indi-
viduum i zu sein braucht, welches die in (l`) dual umgeschriebenen
Definition (l) zu erfüllen braucht. Was vielmehr i` bedeuten, welches
Gebilde die Definition (l`) bestimmen wird, bleibt eben erst zu
untersuchen.

Wir behaupten, dass es die Negation eines Individuums sein wird,
dass man also für i` geradezu i1 sagen kann.

Aus der für das Individuum i geltenden Ungleichung i 0 folgt
durch beiderseitiges Negiren: i1 1, und vice versa.

Die "Kontraposition" ist nämlich auch bei Ungleichungen gestattet,
d. h. nach bekannten Sätzen haben wir schematisch:
(a b) = (a = b)1 = (a1 = b1)1 = (a1 b1)
und sonach insbesondere:
(i 0) = (i1 1).

Wir können ferner die beiden Subsumtionen in (l) vermittelst
Kontraposition umschreiben wie folgt:
(i x) = (x1 i1), (i x1) = (x i1)
sodass die Definition (l) auch in die Form gesetzt werden mag:
(l') (i1 1) [Formel 2] {(x1 i1) + (x i1)} = i

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
a ⊆ i noch b ⊆ i, wofern nur c i1 und d i1 von 0 verschieden, also a und
b dem i wirklich übergeordnet genommen werden — eine Anforderung,
welche in Verbindung mit der c d = p für Gebiete im Allgemeinen leicht
zu erfüllen ist (wofern nämlich nur die Mannigfaltigkeit 1 neben i noch
mindestens zwei Individuen enthält wo dann schon die Annahme: a = i + i2,
b = i + i3 genügen wird). Die Konklusion also zeigt sich als gleichwol
nicht erfüllt und der Satz kann keine Geltung haben.

Der Umstand, dass hienach vom Individuum i der Satz τ) gilt,
der dazu gebietsduale Satz ?) aber nicht gilt, lässt erkennen, dass der
Begriff des Individuums gebietsdual sich selber nicht entsprechen kann.

Dies zeigt auch die Inspektion, genauere Ansicht der Def. (β)
selber.

Sehen wir in der That zu, was dieser Definition — oder, noch
besser, der (λ) — gebietsdual für eine Definition entsprechen würde,
d. h. schreiben wir dieselbe einmal gebietsdual um! Das hiebei ein-
zuhaltende Verfahren ist vom Schlusse des § 30 in Erinnerung zu
bringen.

Dasselbe würde uns liefern:
(λ`) (i` ≠ 1) [Formel 1] {(x ⊆ i`) + (x1 ⊆ i`)} = i.
Wir haben gleichzeitig i` für i gesagt, weil es nicht mehr ein Indi-
viduum i zu sein braucht, welches die in (λ`) dual umgeschriebenen
Definition (λ) zu erfüllen braucht. Was vielmehr i` bedeuten, welches
Gebilde die Definition (λ`) bestimmen wird, bleibt eben erst zu
untersuchen.

Wir behaupten, dass es die Negation eines Individuums sein wird,
dass man also für i` geradezu i1 sagen kann.

Aus der für das Individuum i geltenden Ungleichung i ≠ 0 folgt
durch beiderseitiges Negiren: i1 ≠ 1, und vice versa.

Die „Kontraposition“ ist nämlich auch bei Ungleichungen gestattet,
d. h. nach bekannten Sätzen haben wir schematisch:
(a ≠ b) = (a = b)1 = (a1 = b1)1 = (a1 ≠ b1)
und sonach insbesondere:
(i ≠ 0) = (i1 ≠ 1).

Wir können ferner die beiden Subsumtionen in (λ) vermittelst
Kontraposition umschreiben wie folgt:
(i ⊆ x) = (x1 ⊆ i1), (i ⊆ x1) = (x ⊆ i1)
sodass die Definition (λ) auch in die Form gesetzt werden mag:
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[332/0356] Zweiundzwanzigste Vorlesung. a  i noch b  i, wofern nur c i1 und d i1 von 0 verschieden, also a und b dem i wirklich übergeordnet genommen werden — eine Anforderung, welche in Verbindung mit der c d = p für Gebiete im Allgemeinen leicht zu erfüllen ist (wofern nämlich nur die Mannigfaltigkeit 1 neben i noch mindestens zwei Individuen enthält wo dann schon die Annahme: a = i + i2, b = i + i3 genügen wird). Die Konklusion also zeigt sich als gleichwol nicht erfüllt und der Satz kann keine Geltung haben. Der Umstand, dass hienach vom Individuum i der Satz τ) gilt, der dazu gebietsduale Satz ?) aber nicht gilt, lässt erkennen, dass der Begriff des Individuums gebietsdual sich selber nicht entsprechen kann. Dies zeigt auch die Inspektion, genauere Ansicht der Def. (β) selber. Sehen wir in der That zu, was dieser Definition — oder, noch besser, der (λ) — gebietsdual für eine Definition entsprechen würde, d. h. schreiben wir dieselbe einmal gebietsdual um! Das hiebei ein- zuhaltende Verfahren ist vom Schlusse des § 30 in Erinnerung zu bringen. Dasselbe würde uns liefern: (λ`) (i` ≠ 1) [FORMEL] {(x  i`) + (x1  i`)} = i. Wir haben gleichzeitig i` für i gesagt, weil es nicht mehr ein Indi- viduum i zu sein braucht, welches die in (λ`) dual umgeschriebenen Definition (λ) zu erfüllen braucht. Was vielmehr i` bedeuten, welches Gebilde die Definition (λ`) bestimmen wird, bleibt eben erst zu untersuchen. Wir behaupten, dass es die Negation eines Individuums sein wird, dass man also für i` geradezu i1 sagen kann. Aus der für das Individuum i geltenden Ungleichung i ≠ 0 folgt durch beiderseitiges Negiren: i1 ≠ 1, und vice versa. Die „Kontraposition“ ist nämlich auch bei Ungleichungen gestattet, d. h. nach bekannten Sätzen haben wir schematisch: (a ≠ b) = (a = b)1 = (a1 = b1)1 = (a1 ≠ b1) und sonach insbesondere: (i ≠ 0) = (i1 ≠ 1). Wir können ferner die beiden Subsumtionen in (λ) vermittelst Kontraposition umschreiben wie folgt: (i  x) = (x1  i1), (i  x1) = (x  i1) sodass die Definition (λ) auch in die Form gesetzt werden mag: (λ') (i1 ≠ 1) [FORMEL] {(x1  i1) + (x  i1)} = i

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 332. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/356>, abgerufen am 01.07.2024.