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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Wichtige Studie.
A' = a b + a1 c d, B' = b c + b1 a d, C' = a c + c1 b d
und zwar Gleichungen, weil sie als Aussagensubsumtionen vor- und
rückwärts zu gelten haben.

Aus diesen folgen nun rechnerisch ganz dieselben Antworten auf
die gestellten Fragen, welche wir l. c. bereits gegeben haben, mit dem
kleinen Unterschied nur, dass hier die Buchstaben A, B, C einen Ac-
cent tragen. Zum Beispiel: A' B' = b c (a + d), A' B' C' = a b c, und
interpretiren diese sich auch eben dahin -- resp.: Wenn A und B es
(ein Buch) zugleich beanspruchen, so ist es sicher politisch und ge-
bunden, sowie deutsch oder Novelle, und umgekehrt, wenn es solcher
Art ist, wird es von A und B beansprucht. desgleichen wenn es
deutsch, politisch und gebunden ist, dann und nur dann, dann aus-
schliesslich wird es von allen drei Personen beansprucht.

Suchen wir nun aber die Grenzen der Anwendbarkeit solchen
Verfahrens zu erkenne.

Auf den ersten Blick scheint dasselbe auf den ganzen Klassen-
kalkul sich ausdehnen zu lassen, und in der That ist dies auch für
seine erste Etappe der Fall, solange und insoweit der Kalkul sich blos
mit universalen Urteilen abgibt, nämlich sich in lauter Subsumtionen
oder Gleichungen bewegt.

Anstatt eine Subsumtion:

a b oder die ihr äquivalente Gleichung a b1 = 0 als eine zwischen
Klassen bestehende zu deuten, statt sie mit "alle a sind b" zu übersetzen,
kann man sie allemal auch als eine Aussagensubsumtion auslegen:

Man spreche nur von irgend einem aber durchweg demselben Objekte
oder Individuum der den Betrachtungen zugrunde liegenden Mannig-
faltigkeit 1, und lasse a die Aussage bedeuten: "es gehört zur Klasse a"
und b die Aussage: "es gehört zur Klasse b". Das hypothetische Urteil:
wenn es zur Klasse a gehört, so gehört es auch zur Klasse b, das ist
die Aussagensubsumtion a b sagt dann offenbar genau dasselbe, wie
die obige Klassensubsumtion, nämlich wie das Urteil: alle a sind b.
Dasselbe gilt auch von der als Aussagenäquivalenz aufgefassten Glei-
chung: a b1 = 0, regelrecht gedeutet als: es ist nie wahr, dass es (ein
Individuum) zur Klasse a und zugleich nicht zur Klasse b gehöre.

Versuchen wir aber das gleiche Umdeutungsverfahren auch auf
die verneinte Aussagensubsumtion oder die Ungleichung anzuwenden:
a b mit andern Worten: a b1 0,
die uns im Klassenkalkul ein partikulares Urteil darstellt, besagend:
einige a sind nicht b -- ich will bei diesem Beispiel bleiben, da es ja

§ 46. Wichtige Studie.
A' = a b + a1 c d, B' = b c + b1 a d, C' = a c + c1 b d
und zwar Gleichungen, weil sie als Aussagensubsumtionen vor- und
rückwärts zu gelten haben.

Aus diesen folgen nun rechnerisch ganz dieselben Antworten auf
die gestellten Fragen, welche wir l. c. bereits gegeben haben, mit dem
kleinen Unterschied nur, dass hier die Buchstaben A, B, C einen Ac-
cent tragen. Zum Beispiel: A' B' = b c (a + d), A' B' C' = a b c, und
interpretiren diese sich auch eben dahin — resp.: Wenn A und B es
(ein Buch) zugleich beanspruchen, so ist es sicher politisch und ge-
bunden, sowie deutsch oder Novelle, und umgekehrt, wenn es solcher
Art ist, wird es von A und B beansprucht. desgleichen wenn es
deutsch, politisch und gebunden ist, dann und nur dann, dann aus-
schliesslich wird es von allen drei Personen beansprucht.

Suchen wir nun aber die Grenzen der Anwendbarkeit solchen
Verfahrens zu erkenne.

Auf den ersten Blick scheint dasselbe auf den ganzen Klassen-
kalkul sich ausdehnen zu lassen, und in der That ist dies auch für
seine erste Etappe der Fall, solange und insoweit der Kalkul sich blos
mit universalen Urteilen abgibt, nämlich sich in lauter Subsumtionen
oder Gleichungen bewegt.

Anstatt eine Subsumtion:

a ⊆ b oder die ihr äquivalente Gleichung a b1 = 0 als eine zwischen
Klassen bestehende zu deuten, statt sie mit „alle a sind b“ zu übersetzen,
kann man sie allemal auch als eine Aussagensubsumtion auslegen:

Man spreche nur von irgend einem aber durchweg demselben Objekte
oder Individuum der den Betrachtungen zugrunde liegenden Mannig-
faltigkeit 1, und lasse a die Aussage bedeuten: „es gehört zur Klasse a“
und b die Aussage: „es gehört zur Klasse b“. Das hypothetische Urteil:
wenn es zur Klasse a gehört, so gehört es auch zur Klasse b, das ist
die Aussagensubsumtion a ⊆ b sagt dann offenbar genau dasselbe, wie
die obige Klassensubsumtion, nämlich wie das Urteil: alle a sind b.
Dasselbe gilt auch von der als Aussagenäquivalenz aufgefassten Glei-
chung: a b1 = 0, regelrecht gedeutet als: es ist nie wahr, dass es (ein
Individuum) zur Klasse a und zugleich nicht zur Klasse b gehöre.

Versuchen wir aber das gleiche Umdeutungsverfahren auch auf
die verneinte Aussagensubsumtion oder die Ungleichung anzuwenden:
a ⊆ b mit andern Worten: a b1 ≠ 0,
die uns im Klassenkalkul ein partikulares Urteil darstellt, besagend:
einige a sind nicht b — ich will bei diesem Beispiel bleiben, da es ja

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[311/0335] § 46. Wichtige Studie. A' = a b + a1 c d, B' = b c + b1 a d, C' = a c + c1 b d und zwar Gleichungen, weil sie als Aussagensubsumtionen vor- und rückwärts zu gelten haben. Aus diesen folgen nun rechnerisch ganz dieselben Antworten auf die gestellten Fragen, welche wir l. c. bereits gegeben haben, mit dem kleinen Unterschied nur, dass hier die Buchstaben A, B, C einen Ac- cent tragen. Zum Beispiel: A' B' = b c (a + d), A' B' C' = a b c, und interpretiren diese sich auch eben dahin — resp.: Wenn A und B es (ein Buch) zugleich beanspruchen, so ist es sicher politisch und ge- bunden, sowie deutsch oder Novelle, und umgekehrt, wenn es solcher Art ist, wird es von A und B beansprucht. desgleichen wenn es deutsch, politisch und gebunden ist, dann und nur dann, dann aus- schliesslich wird es von allen drei Personen beansprucht. Suchen wir nun aber die Grenzen der Anwendbarkeit solchen Verfahrens zu erkenne. Auf den ersten Blick scheint dasselbe auf den ganzen Klassen- kalkul sich ausdehnen zu lassen, und in der That ist dies auch für seine erste Etappe der Fall, solange und insoweit der Kalkul sich blos mit universalen Urteilen abgibt, nämlich sich in lauter Subsumtionen oder Gleichungen bewegt. Anstatt eine Subsumtion: a  b oder die ihr äquivalente Gleichung a b1 = 0 als eine zwischen Klassen bestehende zu deuten, statt sie mit „alle a sind b“ zu übersetzen, kann man sie allemal auch als eine Aussagensubsumtion auslegen: Man spreche nur von irgend einem aber durchweg demselben Objekte oder Individuum der den Betrachtungen zugrunde liegenden Mannig- faltigkeit 1, und lasse a die Aussage bedeuten: „es gehört zur Klasse a“ und b die Aussage: „es gehört zur Klasse b“. Das hypothetische Urteil: wenn es zur Klasse a gehört, so gehört es auch zur Klasse b, das ist die Aussagensubsumtion a  b sagt dann offenbar genau dasselbe, wie die obige Klassensubsumtion, nämlich wie das Urteil: alle a sind b. Dasselbe gilt auch von der als Aussagenäquivalenz aufgefassten Glei- chung: a b1 = 0, regelrecht gedeutet als: es ist nie wahr, dass es (ein Individuum) zur Klasse a und zugleich nicht zur Klasse b gehöre. Versuchen wir aber das gleiche Umdeutungsverfahren auch auf die verneinte Aussagensubsumtion oder die Ungleichung anzuwenden: a  b mit andern Worten: a b1 ≠ 0, die uns im Klassenkalkul ein partikulares Urteil darstellt, besagend: einige a sind nicht b — ich will bei diesem Beispiel bleiben, da es ja

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 311. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/335>, abgerufen am 11.05.2024.