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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
desgleichen in die disjunkten Arten a, b, c, ... und wenn wir wissen:
alle x sind a, alle y sind b, alle z sind c, ... so muss auch umgekehrt
gelten: alle a sind x, alle b sind y, alle c sind z, ....

[Es ist nicht nötig auch die Arten x, y, z, ... ausdrücklich als
disjunkte vorauszusetzen -- eine Bemerkung, durch welche Hauber's
Satze anscheinend eine kleine Erweiterung zuteil wird. Und zwar
leuchtet dieses augenblicklich auf Grund des vorausgeschickten Hülfs-
satzes ein.]

Aussagenrechnerisch stellt sich der Satz in Gestalt der folgenden
Formel dar:
th) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) ... (x + y + z .. = a + b + c ..) (x a) (y b) (z c) ...
(a x) (b y) (c z) ... (x y = 0) (x z = 0) (y z = 0) ...
wo der mittlere Faktor links statuirt, dass es dieselbe Gattung sein
soll, welche nach zweierlei Einteilungsprinzipien in gleichviele Arten
a, b, c, ... und x, y, z, ... zerfällt, wogegen die letzte Faktorengruppe
rechts im Einklang mit unserm Hülfssatze kund gibt, dass auch die
letztern Arten disjunkt sein werden.

Es genügt, den Satz, dem wir nachher noch eine etwas elegantere
Fassung geben werden, zunächst für die dichotomische Einteilung zu
beweisen, wo er lautet:
i) (a b = 0) (x + y = a + b) (x a) (y b) (a x) (b y) (x y = 0).
Einsetzung der Gültigkeitsklassen der Teilaussagen gibt hier wieder:
(a1 + b1) {(x + y) (a + b) + x1 y1 a1 b1} (x1 + a) (y1 + b) (a1 + x) (b1 + y) (x1 + y1),
oder: (a1 + b1) {(x + y) (a + b) + x1 y1 a1 b1} (x1 + a) (y1 + b) (a x1 + b y1 + x y) = 0
was leicht zu verifiziren durch geschicktes Ausmultipliziren. Dies be-
weist den Satz auch für die weitere Geltung, weil das Produkt jener
Gültigkeitsklassen nach Th. 24x) zugleich das Polynom ist der (rechts
auf 1 gebrachten) vereinten Gleichung von Minor resp. Major der Sub-
sumtion i). Man konnte auch die vereinte Nullgleichung des Minor:
a b + a1 b1 (x + y) + (a + b) x1 y1 + a1 x + b1 y = 0
nach x, y entwickeln zu: x y + (b + a1) x y1 + (a + b1) x1 y + (a + b) x1 y1 = 0
und sich überzeugen, dass hieraus die vereinte Nullgleichung des Ma-
jors, a x1 + b y1 + x y = 0, wenn vollends nach x, y entwickelt, kraft
Th. 24+) folgt.

Von der dichotomischen Einteilung, d. i. auf Grund von i) kann
der Beweis nunmehr auf die tricho-, tetra- etc. tomische Einteilung
genau in derselben Weise ausgedehnt werden -- sonach mittelst der
nämlichen für die accentuirten Buchstaben auszuführenden Substitu-

Einundzwanzigste Vorlesung.
desgleichen in die disjunkten Arten a, b, c, … und wenn wir wissen:
alle x sind a, alle y sind b, alle z sind c, … so muss auch umgekehrt
gelten: alle a sind x, alle b sind y, alle c sind z, ….

[Es ist nicht nötig auch die Arten x, y, z, … ausdrücklich als
disjunkte vorauszusetzen — eine Bemerkung, durch welche Hauber’s
Satze anscheinend eine kleine Erweiterung zuteil wird. Und zwar
leuchtet dieses augenblicklich auf Grund des vorausgeschickten Hülfs-
satzes ein.]

Aussagenrechnerisch stellt sich der Satz in Gestalt der folgenden
Formel dar:
ϑ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (x + y + z ‥ = a + b + c ‥) (x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) … ⊆
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wo der mittlere Faktor links statuirt, dass es dieselbe Gattung sein
soll, welche nach zweierlei Einteilungsprinzipien in gleichviele Arten
a, b, c, … und x, y, z, … zerfällt, wogegen die letzte Faktorengruppe
rechts im Einklang mit unserm Hülfssatze kund gibt, dass auch die
letztern Arten disjunkt sein werden.

Es genügt, den Satz, dem wir nachher noch eine etwas elegantere
Fassung geben werden, zunächst für die dichotomische Einteilung zu
beweisen, wo er lautet:
ι) (a b = 0) (x + y = a + b) (x ⊆ a) (y ⊆ b) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ y) (x y = 0).
Einsetzung der Gültigkeitsklassen der Teilaussagen gibt hier wieder:
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was leicht zu verifiziren durch geschicktes Ausmultipliziren. Dies be-
weist den Satz auch für die weitere Geltung, weil das Produkt jener
Gültigkeitsklassen nach Th. 24×) zugleich das Polynom ist der (rechts
auf 1 gebrachten) vereinten Gleichung von Minor resp. Major der Sub-
sumtion ι). Man konnte auch die vereinte Nullgleichung des Minor:
a b + a1 b1 (x + y) + (a + b) x1 y1 + a1 x + b1 y = 0
nach x, y entwickeln zu: x y + (b + a1) x y1 + (a + b1) x1 y + (a + b) x1 y1 = 0
und sich überzeugen, dass hieraus die vereinte Nullgleichung des Ma-
jors, a x1 + b y1 + x y = 0, wenn vollends nach x, y entwickelt, kraft
Th. 24+) folgt.

Von der dichotomischen Einteilung, d. i. auf Grund von ι) kann
der Beweis nunmehr auf die tricho-, tetra- etc. tomische Einteilung
genau in derselben Weise ausgedehnt werden — sonach mittelst der
nämlichen für die accentuirten Buchstaben auszuführenden Substitu-

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[286/0310] Einundzwanzigste Vorlesung. desgleichen in die disjunkten Arten a, b, c, … und wenn wir wissen: alle x sind a, alle y sind b, alle z sind c, … so muss auch umgekehrt gelten: alle a sind x, alle b sind y, alle c sind z, …. [Es ist nicht nötig auch die Arten x, y, z, … ausdrücklich als disjunkte vorauszusetzen — eine Bemerkung, durch welche Hauber’s Satze anscheinend eine kleine Erweiterung zuteil wird. Und zwar leuchtet dieses augenblicklich auf Grund des vorausgeschickten Hülfs- satzes ein.] Aussagenrechnerisch stellt sich der Satz in Gestalt der folgenden Formel dar: ϑ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (x + y + z ‥ = a + b + c ‥) (x  a) (y  b) (z  c) …   (a  x) (b  y) (c  z) … (x y = 0) (x z = 0) (y z = 0) … wo der mittlere Faktor links statuirt, dass es dieselbe Gattung sein soll, welche nach zweierlei Einteilungsprinzipien in gleichviele Arten a, b, c, … und x, y, z, … zerfällt, wogegen die letzte Faktorengruppe rechts im Einklang mit unserm Hülfssatze kund gibt, dass auch die letztern Arten disjunkt sein werden. Es genügt, den Satz, dem wir nachher noch eine etwas elegantere Fassung geben werden, zunächst für die dichotomische Einteilung zu beweisen, wo er lautet: ι) (a b = 0) (x + y = a + b) (x  a) (y  b)  (a  x) (b  y) (x y = 0). Einsetzung der Gültigkeitsklassen der Teilaussagen gibt hier wieder: (a1 + b1) {(x + y) (a + b) + x1 y1 a1 b1} (x1 + a) (y1 + b)  (a1 + x) (b1 + y) (x1 + y1), oder: (a1 + b1) {(x + y) (a + b) + x1 y1 a1 b1} (x1 + a) (y1 + b) (a x1 + b y1 + x y) = 0 was leicht zu verifiziren durch geschicktes Ausmultipliziren. Dies be- weist den Satz auch für die weitere Geltung, weil das Produkt jener Gültigkeitsklassen nach Th. 24×) zugleich das Polynom ist der (rechts auf 1 gebrachten) vereinten Gleichung von Minor resp. Major der Sub- sumtion ι). Man konnte auch die vereinte Nullgleichung des Minor: a b + a1 b1 (x + y) + (a + b) x1 y1 + a1 x + b1 y = 0 nach x, y entwickeln zu: x y + (b + a1) x y1 + (a + b1) x1 y + (a + b) x1 y1 = 0 und sich überzeugen, dass hieraus die vereinte Nullgleichung des Ma- jors, a x1 + b y1 + x y = 0, wenn vollends nach x, y entwickelt, kraft Th. 24+) folgt. Von der dichotomischen Einteilung, d. i. auf Grund von ι) kann der Beweis nunmehr auf die tricho-, tetra- etc. tomische Einteilung genau in derselben Weise ausgedehnt werden — sonach mittelst der nämlichen für die accentuirten Buchstaben auszuführenden Substitu-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 286. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/310>, abgerufen am 11.05.2024.