Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Einundzwanzigste Vorlesung.

ω){(a ⊆ c) ⊆ x} ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ x} + (b ⊆ c),
{(a ⊆ c) ⊆ x} ⊆ {(b ⊆ c) ⊆ x} + (a ⊆ b).

Dieselben sind zunächst sämtlich leicht in der geschilderten Weise zu veri-
fiziren oder als gültige Sätze des Aussagenkalkuls zu beweisen; sie kommen
bezüglich auf die Subsumtionen hinaus:

x (b_1 + c) ⊆ x (a_1 + c) + a b_1,	x (a_1 + b) ⊆ x (a_1 + c) + b c_1,
a c_1 x_1 ⊆ a b_1 x_1 + b c_1,	a c_1 x_1 ⊆ b c_1 x_1 + a b_1,

die als analytische Formeln des Gebietekalkuls (indem man z. B. rechts
auf 0 brächte) leicht vollends zu erhärten wären.

Ich muss indessen gestehen, dass ich mit all’ den im gegenwärtigen
Kontext genannten Sätzen nichts Rechtes auzufangen wüsste und dass mir
dieselben mehr nur als Kuriosa des Aussagenkalkuls erscheinen, denen
kaum ein höherer Wert als der von Übungsbeispielen für Anfänger zu-
kommen dürfte.

Sofern sich die Sätze auf die (merkwürdigerweise?) dem verbalen
Schliessen fremde Beziehung der Nichteinordnung, des Nichtimgefolge-
habens bei ihren Prämissen oder Konklusionen berufen, dürften sie
am besten ganz von der Theorie ignorirt werden, und möchte ich als
den vornehmsten Zweck unsrer diesbezüglichen Darlegungen die eben
hiermit geübte Kritik derselben hinstellen. Diese Sätze, deren Menge
leicht noch weiter, ja in’s Unbegrenzte zu vermehren wäre — zunächst
z. B. indem man auch noch Gegenstücke zu den Formeln γ), δ), ε), ‥
aufsuchte — steigern nur — wenn etwa gar als zu memorirende hin-
gestellt — die Belastung des Gedächtnisses auf ersichtlich mehr als
das Doppelte von der Auflage des Gebietekalkuls, und das ohne Not,
ohne entsprechenden Gewinn! Sind wir doch auch ohne sie schon
den allgemeinsten Aufgaben des Gebiete- (einschliesslich Aussagen-)
kalkuls näher getreten und haben bereits gelernt, derselben zu ent-
raten! — Endlich aber zerfallen ja alle diese Beziehungen, indem
(a ⊆ b) = a b₁ = (a = i) (b = 0)
sein muss — ein Umstand, im Hinblick auf welchen Obiges schon
weniger merkwürdig erscheinen wird. —

Gilt eine Formel im identischen Kalkul auch dann, wenn man die
als einfache Symbole in ihr vorkommenden Buchstaben beliebig als
Gebiete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit interpretirt — desgleichen
die einfachen Symbole 0, 1 in der aus Def. (2) bekannten Weise als
bestimmte Gebiete — so haben wir bislang ihr „die weitere Geltung“
zugeschrieben.

Dagegen wurde gesagt, die Formel besitze blos „die engere Gel-
tung“, wenn sie zwar im Aussagenkalkul gilt, d. h. richtig ist, sobald