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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

hebt die Voraussetzung unsres Satzes, welche ja die Subsumtion a b ver-
neint, die dritte hervor, wo a gilt, b nicht gilt.

Für die drei andern Fälle haben wir dagegen a b, nämlich 0 0,
0 i und i i -- alles zuwider der Hypothesis a b.

Unser Theorem sagt nun aus: Wenn a gilt (und zugleich b nicht gilt),
so gilt entweder a, oder es gilt c nicht. Faktisch tritt sicher die erste Alter-
native ein -- ganz einerlei, ob die zweite noch dazu gesetzt wird oder
nicht: es gilt einfach a, und folglich gilt dieses a auch dann, wenn c gilt.

Die Annahme: a = der Behauptung, dass 2 x 2 = 4 ist (welche
unbestritten gilt), b = der Behauptung: Es gibt Hexerei (welche entschieden
nicht gilt) und c = der Behauptung: Der dreidimensionale Raum ist Quer-
schnitt einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit -- würde eine Illustration
zu dem Satze liefern, ganz einerlei, ob letztere c für wahr oder für falsch
gehalten wird (ihre Richtigkeit ist bekanntlich noch unentschieden) -- mag
das Theorem exemplifiziren.

Man sieht auch, dass der vorhin in Klammer gesetzte Zusatz "(und
zugleich b nicht gilt)" vollkommen überflüssig ist. Der Satz muss sich
vereinfachen lassen zu: a (c a) -- sein Gegenstück ebenso zu: b1 (b c)
-- und in dieser vereinfachten Gestalt fallen die Theoreme in der That
zusammen mit den schon angeführten g).

Insbesondre ist es natürlich gestattet, in mx) auch c = b, resp.
in m+) c = a, anzunehmen wodurch die beiden Formeln übergehn in:
*n) (a b) (b a):
Ist es unrichtig, dass b gilt, wann a gilt, so muss a gelten, wann b gilt.

Verbindet man diesen Satz mit den vier Gleichungen von Def. (3)
und a), so ergeben sich die acht Schlüsse:

*x
(c a b) (a c) + (b c)(a + b c) (c a) + (c b)
(a b c) (c a) (c b)(c a + b) (a c) (b c)
(c a) + (c b) (a b c)(a c) + (b c) (c a + b)
(a c) (b c) (c a b)(c a) (c b) (a + b c)
welche auf ihn auch zurückgeführt werden könnten, sonach weiter in Zu-
sammenhang gebracht werden durch die Äquivalenzen:
o) (c a b) = (c a) + (c b)(a + b c) = (a c) + (b c)
*p) (a b c) = (a c) (b c)(c a + b) = (c a) (c b),
die sich aus jenen (3) und a) durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 32)
und 36) ergeben, und deren ersterer natürlich, gleichwie der Def. (3) selbst,
die weitere Geltung zukommt. Sie ist von Peirce 5 schon gegeben.

Hiezu ist noch anzuführen, dass wegen
a b a + b
auch sein wird:

Einundzwanzigste Vorlesung.

hebt die Voraussetzung unsres Satzes, welche ja die Subsumtion a ⊆ b ver-
neint, die dritte hervor, wo a gilt, b nicht gilt.

Für die drei andern Fälle haben wir dagegen a ⊆ b, nämlich 0 ⊆ 0,
0 ⊆ i und i ⊆ i — alles zuwider der Hypothesis a ⊆ b.

Unser Theorem sagt nun aus: Wenn a gilt (und zugleich b nicht gilt),
so gilt entweder a, oder es gilt c nicht. Faktisch tritt sicher die erste Alter-
native ein — ganz einerlei, ob die zweite noch dazu gesetzt wird oder
nicht: es gilt einfach a, und folglich gilt dieses a auch dann, wenn c gilt.

Die Annahme: a = der Behauptung, dass 2 × 2 = 4 ist (welche
unbestritten gilt), b = der Behauptung: Es gibt Hexerei (welche entschieden
nicht gilt) und c = der Behauptung: Der dreidimensionale Raum ist Quer-
schnitt einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit — würde eine Illustration
zu dem Satze liefern, ganz einerlei, ob letztere c für wahr oder für falsch
gehalten wird (ihre Richtigkeit ist bekanntlich noch unentschieden) — mag
das Theorem exemplifiziren.

Man sieht auch, dass der vorhin in Klammer gesetzte Zusatz „(und
zugleich b nicht gilt)“ vollkommen überflüssig ist. Der Satz muss sich
vereinfachen lassen zu: a ⊆ (c ⊆ a) — sein Gegenstück ebenso zu: b1 ⊆ (b ⊆ c)
— und in dieser vereinfachten Gestalt fallen die Theoreme in der That
zusammen mit den schon angeführten γ).

Insbesondre ist es natürlich gestattet, in μ×) auch c = b, resp.
in μ+) c = a, anzunehmen wodurch die beiden Formeln übergehn in:
*ν) (a ⊆ b) ⊆ (b ⊆ a):
Ist es unrichtig, dass b gilt, wann a gilt, so muss a gelten, wann b gilt.

Verbindet man diesen Satz mit den vier Gleichungen von Def. (3)
und α), so ergeben sich die acht Schlüsse:

*ξ
(c ⊆ a b) ⊆ (a ⊆ c) + (b ⊆ c)(a + b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a) + (c ⊆ b)
(a b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a) (c ⊆ b)(c ⊆ a + b) ⊆ (a ⊆ c) (b ⊆ c)
(c ⊆ a) + (c ⊆ b) ⊆ (a b ⊆ c)(a ⊆ c) + (b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a + b)
(a ⊆ c) (b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a b)(c ⊆ a) (c ⊆ b) ⊆ (a + b ⊆ c)
welche auf ihn auch zurückgeführt werden könnten, sonach weiter in Zu-
sammenhang gebracht werden durch die Äquivalenzen:
ο) (c ⊆ a b) = (c ⊆ a) + (c ⊆ b)(a + b ⊆ c) = (a ⊆ c) + (b ⊆ c)
*π) (a b ⊆ c) = (a ⊆ c) (b ⊆ c)(c ⊆ a + b) = (c ⊆ a) (c ⊆ b),
die sich aus jenen (3) und α) durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 3̅2̅)
und 3̅6̅) ergeben, und deren ersterer natürlich, gleichwie der Def. (3) selbst,
die weitere Geltung zukommt. Sie ist von Peirce 5 schon gegeben.

Hiezu ist noch anzuführen, dass wegen
a b ⊆ a + b
auch sein wird:

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[272/0296] Einundzwanzigste Vorlesung. hebt die Voraussetzung unsres Satzes, welche ja die Subsumtion a  b ver- neint, die dritte hervor, wo a gilt, b nicht gilt. Für die drei andern Fälle haben wir dagegen a  b, nämlich 0  0, 0  i und i  i — alles zuwider der Hypothesis a  b. Unser Theorem sagt nun aus: Wenn a gilt (und zugleich b nicht gilt), so gilt entweder a, oder es gilt c nicht. Faktisch tritt sicher die erste Alter- native ein — ganz einerlei, ob die zweite noch dazu gesetzt wird oder nicht: es gilt einfach a, und folglich gilt dieses a auch dann, wenn c gilt. Die Annahme: a = der Behauptung, dass 2 × 2 = 4 ist (welche unbestritten gilt), b = der Behauptung: Es gibt Hexerei (welche entschieden nicht gilt) und c = der Behauptung: Der dreidimensionale Raum ist Quer- schnitt einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit — würde eine Illustration zu dem Satze liefern, ganz einerlei, ob letztere c für wahr oder für falsch gehalten wird (ihre Richtigkeit ist bekanntlich noch unentschieden) — mag das Theorem exemplifiziren. Man sieht auch, dass der vorhin in Klammer gesetzte Zusatz „(und zugleich b nicht gilt)“ vollkommen überflüssig ist. Der Satz muss sich vereinfachen lassen zu: a  (c  a) — sein Gegenstück ebenso zu: b1  (b  c) — und in dieser vereinfachten Gestalt fallen die Theoreme in der That zusammen mit den schon angeführten γ). Insbesondre ist es natürlich gestattet, in μ×) auch c = b, resp. in μ+) c = a, anzunehmen wodurch die beiden Formeln übergehn in: *ν) (a  b)  (b  a): Ist es unrichtig, dass b gilt, wann a gilt, so muss a gelten, wann b gilt. Verbindet man diesen Satz mit den vier Gleichungen von Def. (3) und α), so ergeben sich die acht Schlüsse: *ξ(c  a b)  (a  c) + (b  c) (a + b  c)  (c  a) + (c  b) (a b  c)  (c  a) (c  b) (c  a + b)  (a  c) (b  c) (c  a) + (c  b)  (a b  c) (a  c) + (b  c)  (c  a + b) (a  c) (b  c)  (c  a b) (c  a) (c  b)  (a + b  c) welche auf ihn auch zurückgeführt werden könnten, sonach weiter in Zu- sammenhang gebracht werden durch die Äquivalenzen: ο) (c  a b) = (c  a) + (c  b) (a + b  c) = (a  c) + (b  c) *π) (a b  c) = (a  c) (b  c) (c  a + b) = (c  a) (c  b), die sich aus jenen (3) und α) durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) ergeben, und deren ersterer natürlich, gleichwie der Def. (3) selbst, die weitere Geltung zukommt. Sie ist von Peirce 5 schon gegeben. Hiezu ist noch anzuführen, dass wegen a b  a + b auch sein wird:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 272. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/296>, abgerufen am 09.05.2024.