drückt als ein allgemeiner Satz aus, dass irgend ein Glied der Summe links in t) eingeordnet ist dem entsprechenden Gliede rechts, dieses involvirt.
Denkt man sich solches nun für jedes Glied jener Summe hinge- schrieben, so braucht man blos die Subsumtionen der entstehenden Reihe nach Th. 17+) überschiebend zu addiren, und wird das Theo- rem t) -- noch ohne die Summenzeichen, ausführlichst, angeschrieben -- gewinnen. Der Prozess läuft aber darauf hinaus, die vorstehende Subsumtion "beiderseits" zu "summiren", d. h. der linken und rechten Seite derselben das Summenzeichen voranzuschreiben.
Herrn Peirce's Schüler O. H. Mitchell gibt als Resultante der Eli- mination des x aus a) -- wie gesagt in seine ihm eigentümliche Symbolik verhüllt -- blos die Folgerung:
S (a1 + b1 = 1) (p + q 0) (r + s 0) ... = i 0
welche, wie wir unter i) bis r) ausgeführt haben, nur einen Teil von dem darstellt, was wirklich gefolgert werden kann. Er wirft die Frage nach der Vollständigkeit der Eliminationsergebnisse (gleichwie auch die übrigen Schriftsteller über rechnende Logik) überhaupt nicht auf, lässt diese un- untersucht und haftet an der Regel des Eliminirens mittelst Tilgung der Eliminanden, die -- für die einfachsten Fälle schon von Miss Ladd be- merkt -- von ihm auch auf die andern Probleme mit ausgedehnt wird.
Dass diese Methode zwar zu richtigen Schlüssen führt, aber im all- gemeinen zu wenig sagende, nicht weit genug gehende Ergebnisse liefern muss, haben wir bereits dargethan.
Leicht sieht man, dass unsre Lösung auf Grund des Satzes t) auch die früheren b) und e) -- sowie i) -- mit unter sich begreift. Lässt man die Ungleichungen fort und beschränkt die Summe auf ein einziges Glied, so hat man das alte (schon von Boole gegebene) Theorem b) wieder. Und e) ergibt sich durch die Annahme a = b = 0, wofür dann a1 = b1 = 1 wird, also unser Ausdruck p a1 + q b1 in p + q, etc. übergeht.
Die Frage aber, ob nun auch die angegebene notwendig geltende und unbedingt richtige Resultante s) das volle Ergebniss der Elimi- nation des x aus der vereinigten Aussage a) der Data unsres all- gemeinsten Problemes darstelle, ist strenge genommen zu verneinen. Es wird uns diese Frage noch zu schwierigen aber instruktiven Unter- suchungen veranlassen, bei denen ein näheres Eingehen auf den Be- griff des "Individuums" nötig wird, für die eine exakte Definition dieses Begriffes voranzuschicken ist.
Ich will diese Untersuchungen lieber auf einen späteren Zeitpunkt
Neunzehnte Vorlesung.
drückt als ein allgemeiner Satz aus, dass irgend ein Glied der Summe links in τ) eingeordnet ist dem entsprechenden Gliede rechts, dieses involvirt.
Denkt man sich solches nun für jedes Glied jener Summe hinge- schrieben, so braucht man blos die Subsumtionen der entstehenden Reihe nach Th. 1̅7̅+) überschiebend zu addiren, und wird das Theo- rem τ) — noch ohne die Summenzeichen, ausführlichst, angeschrieben — gewinnen. Der Prozess läuft aber darauf hinaus, die vorstehende Subsumtion „beiderseits“ zu „summiren“, d. h. der linken und rechten Seite derselben das Summenzeichen voranzuschreiben.
Herrn Peirce’s Schüler O. H. Mitchell gibt als Resultante der Eli- mination des x aus α) — wie gesagt in seine ihm eigentümliche Symbolik verhüllt — blos die Folgerung:
Σ (a1 + b1 = 1) (p + q ≠ 0) (r + s ≠ 0) … = i ≠ 0
welche, wie wir unter ι) bis ϱ) ausgeführt haben, nur einen Teil von dem darstellt, was wirklich gefolgert werden kann. Er wirft die Frage nach der Vollständigkeit der Eliminationsergebnisse (gleichwie auch die übrigen Schriftsteller über rechnende Logik) überhaupt nicht auf, lässt diese un- untersucht und haftet an der Regel des Eliminirens mittelst Tilgung der Eliminanden, die — für die einfachsten Fälle schon von Miss Ladd be- merkt — von ihm auch auf die andern Probleme mit ausgedehnt wird.
Dass diese Methode zwar zu richtigen Schlüssen führt, aber im all- gemeinen zu wenig sagende, nicht weit genug gehende Ergebnisse liefern muss, haben wir bereits dargethan.
Leicht sieht man, dass unsre Lösung auf Grund des Satzes τ) auch die früheren β) und η) — sowie ι) — mit unter sich begreift. Lässt man die Ungleichungen fort und beschränkt die Summe auf ein einziges Glied, so hat man das alte (schon von Boole gegebene) Theorem β) wieder. Und η) ergibt sich durch die Annahme a = b = 0, wofür dann a1 = b1 = 1 wird, also unser Ausdruck p a1 + q b1 in p + q, etc. übergeht.
Die Frage aber, ob nun auch die angegebene notwendig geltende und unbedingt richtige Resultante σ) das volle Ergebniss der Elimi- nation des x aus der vereinigten Aussage α) der Data unsres all- gemeinsten Problemes darstelle, ist strenge genommen zu verneinen. Es wird uns diese Frage noch zu schwierigen aber instruktiven Unter- suchungen veranlassen, bei denen ein näheres Eingehen auf den Be- griff des „Individuums“ nötig wird, für die eine exakte Definition dieses Begriffes voranzuschicken ist.
Ich will diese Untersuchungen lieber auf einen späteren Zeitpunkt
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[210/0234]
Neunzehnte Vorlesung.
drückt als ein allgemeiner Satz aus, dass irgend ein Glied der Summe
links in τ) eingeordnet ist dem entsprechenden Gliede rechts, dieses
involvirt.
Denkt man sich solches nun für jedes Glied jener Summe hinge-
schrieben, so braucht man blos die Subsumtionen der entstehenden
Reihe nach Th. 1̅7̅+) überschiebend zu addiren, und wird das Theo-
rem τ) — noch ohne die Summenzeichen, ausführlichst, angeschrieben
— gewinnen. Der Prozess läuft aber darauf hinaus, die vorstehende
Subsumtion „beiderseits“ zu „summiren“, d. h. der linken und rechten
Seite derselben das Summenzeichen voranzuschreiben.
Herrn Peirce’s Schüler O. H. Mitchell gibt als Resultante der Eli-
mination des x aus α) — wie gesagt in seine ihm eigentümliche Symbolik
verhüllt — blos die Folgerung:
Σ (a1 + b1 = 1) (p + q ≠ 0) (r + s ≠ 0) … = i
≠ 0
welche, wie wir unter ι) bis ϱ) ausgeführt haben, nur einen Teil von dem
darstellt, was wirklich gefolgert werden kann. Er wirft die Frage nach
der Vollständigkeit der Eliminationsergebnisse (gleichwie auch die übrigen
Schriftsteller über rechnende Logik) überhaupt nicht auf, lässt diese un-
untersucht und haftet an der Regel des Eliminirens mittelst Tilgung der
Eliminanden, die — für die einfachsten Fälle schon von Miss Ladd be-
merkt — von ihm auch auf die andern Probleme mit ausgedehnt wird.
Dass diese Methode zwar zu richtigen Schlüssen führt, aber im all-
gemeinen zu wenig sagende, nicht weit genug gehende Ergebnisse liefern
muss, haben wir bereits dargethan.
Leicht sieht man, dass unsre Lösung auf Grund des Satzes τ)
auch die früheren β) und η) — sowie ι) — mit unter sich begreift.
Lässt man die Ungleichungen fort und beschränkt die Summe auf ein
einziges Glied, so hat man das alte (schon von Boole gegebene)
Theorem β) wieder. Und η) ergibt sich durch die Annahme a = b = 0,
wofür dann a1 = b1 = 1 wird, also unser Ausdruck p a1 + q b1 in p + q,
etc. übergeht.
Die Frage aber, ob nun auch die angegebene notwendig geltende
und unbedingt richtige Resultante σ) das volle Ergebniss der Elimi-
nation des x aus der vereinigten Aussage α) der Data unsres all-
gemeinsten Problemes darstelle, ist strenge genommen zu verneinen.
Es wird uns diese Frage noch zu schwierigen aber instruktiven Unter-
suchungen veranlassen, bei denen ein näheres Eingehen auf den Be-
griff des „Individuums“ nötig wird, für die eine exakte Definition dieses
Begriffes voranzuschicken ist.
Ich will diese Untersuchungen lieber auf einen späteren Zeitpunkt
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 210. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/234>, abgerufen am 05.05.2024.
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