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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
gleichen auch mittelbar, successive, von jenen auf diese ausdehnen. Es gilt
z. B. auch:
x) (p x + q y + r z 0) (p + q + r 0)
Etc. und können wir sagen: Wenn eine lineare (und zunächst homogene)
Funktion beliebig vieler Variabeln ungleich 0 ist, so muss auch die Summe
ihrer Koeffizienten ungleich 0 sein.

Gilt der Satz aber für eine homogene lineare Funktion bei einer be-
stimmten Anzahl von Gliedern oder Variabeln, so muss er auch für die all-
gemeine, nicht homogene, lineare Funktion von ebensoviel Gliedern (mithin
von einer Variabeln weniger) gelten, indem man, um ihn für diese zu er-
halten, nur die letzte von den erwähnten Variabeln gleich 1 zu denken
braucht. So erhalten wir z. B. aus dem letzten Satze für drei Variabeln
durch die Annahme z = 1 auch den Satz:
o) (p x + q y + r 0) (p + q + r 0),
durch welchen für die allgemeine lineare Funktion von zwei Variabeln das
Theorem dargestellt wird.

Die Formeln n), x), o) geben rechterhand die volle Resultante der
Elimination von x, y und eventuell z aus der Proposition linkerhand an, wie
man durch die Annahmen x = p, y = q und ev. z = r mit Leichtigkeit
beweist. Und ähnlich für noch mehr Summanden. Auch hier entsteht die
Resultante durch Tilgung der Eliminanden. --

Nach n) haben wir nun insbesondere:
p) (p a1 + q b1 0) (p + q 0).

Multiplizirt man dies "beiderseits" (nicht "überschiebend"!) mit
(a b = 0), so folgt aus dem Ergebnisse:
(a b = 0) (p a1 + q b1 0) (a b = 0) (p + q 0)
in Verbindung mit i) a fortiori auch:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0) (a b = 0) (p + q 0),
oder:
r) (a1 x + b1 x1 = 1) (p x + q x1 0) (a1 + b1 = 1) (p + q 0).

Auch bei diesem Problem erhält man also, wofern man nur eine
bestimmte Form des Ansatzes -- nämlich die linkerhand in r) --
wählt, als richtige Folgerung eine Resultante der Elimination, indem
man die Eliminanden x, x1 aus der Prämisse herausradirt.

Diese Resultante wird aber im allgemeinen durchaus nicht die
volle Resultante sein; vielmehr wird dieselbe entschieden weniger aus-
sagen, als wirklich in Bezug auf a, b, p, q aus der Prämisse gefolgert
werden kann.

Es ist nämlich leicht zu sehen, dass die Subsumtion p) nicht umkehr-

Neunzehnte Vorlesung.
gleichen auch mittelbar, successive, von jenen auf diese ausdehnen. Es gilt
z. B. auch:
ξ) (p x + q y + r z ≠ 0) ⊆ (p + q + r ≠ 0)
Etc. und können wir sagen: Wenn eine lineare (und zunächst homogene)
Funktion beliebig vieler Variabeln ungleich 0 ist, so muss auch die Summe
ihrer Koeffizienten ungleich 0 sein.

Gilt der Satz aber für eine homogene lineare Funktion bei einer be-
stimmten Anzahl von Gliedern oder Variabeln, so muss er auch für die all-
gemeine, nicht homogene, lineare Funktion von ebensoviel Gliedern (mithin
von einer Variabeln weniger) gelten, indem man, um ihn für diese zu er-
halten, nur die letzte von den erwähnten Variabeln gleich 1 zu denken
braucht. So erhalten wir z. B. aus dem letzten Satze für drei Variabeln
durch die Annahme z = 1 auch den Satz:
ο) (p x + q y + r ≠ 0) ⊆ (p + q + r ≠ 0),
durch welchen für die allgemeine lineare Funktion von zwei Variabeln das
Theorem dargestellt wird.

Die Formeln ν), ξ), ο) geben rechterhand die volle Resultante der
Elimination von x, y und eventuell z aus der Proposition linkerhand an, wie
man durch die Annahmen x = p, y = q und ev. z = r mit Leichtigkeit
beweist. Und ähnlich für noch mehr Summanden. Auch hier entsteht die
Resultante durch Tilgung der Eliminanden. —

Nach ν) haben wir nun insbesondere:
π) (p a1 + q b1 ≠ 0) ⊆ (p + q ≠ 0).

Multiplizirt man dies „beiderseits“ (nicht „überschiebend“!) mit
(a b = 0), so folgt aus dem Ergebnisse:
(a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0) ⊆ (a b = 0) (p + q ≠ 0)
in Verbindung mit ι) a fortiori auch:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) ⊆ (a b = 0) (p + q ≠ 0),
oder:
ϱ) (a1 x + b1 x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) ⊆ (a1 + b1 = 1) (p + q ≠ 0).

Auch bei diesem Problem erhält man also, wofern man nur eine
bestimmte Form des Ansatzes — nämlich die linkerhand in ϱ) —
wählt, als richtige Folgerung eine Resultante der Elimination, indem
man die Eliminanden x, x1 aus der Prämisse herausradirt.

Diese Resultante wird aber im allgemeinen durchaus nicht die
volle Resultante sein; vielmehr wird dieselbe entschieden weniger aus-
sagen, als wirklich in Bezug auf a, b, p, q aus der Prämisse gefolgert
werden kann.

Es ist nämlich leicht zu sehen, dass die Subsumtion π) nicht umkehr-

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[208/0232] Neunzehnte Vorlesung. gleichen auch mittelbar, successive, von jenen auf diese ausdehnen. Es gilt z. B. auch: ξ) (p x + q y + r z ≠ 0)  (p + q + r ≠ 0) Etc. und können wir sagen: Wenn eine lineare (und zunächst homogene) Funktion beliebig vieler Variabeln ungleich 0 ist, so muss auch die Summe ihrer Koeffizienten ungleich 0 sein. Gilt der Satz aber für eine homogene lineare Funktion bei einer be- stimmten Anzahl von Gliedern oder Variabeln, so muss er auch für die all- gemeine, nicht homogene, lineare Funktion von ebensoviel Gliedern (mithin von einer Variabeln weniger) gelten, indem man, um ihn für diese zu er- halten, nur die letzte von den erwähnten Variabeln gleich 1 zu denken braucht. So erhalten wir z. B. aus dem letzten Satze für drei Variabeln durch die Annahme z = 1 auch den Satz: ο) (p x + q y + r ≠ 0)  (p + q + r ≠ 0), durch welchen für die allgemeine lineare Funktion von zwei Variabeln das Theorem dargestellt wird. Die Formeln ν), ξ), ο) geben rechterhand die volle Resultante der Elimination von x, y und eventuell z aus der Proposition linkerhand an, wie man durch die Annahmen x = p, y = q und ev. z = r mit Leichtigkeit beweist. Und ähnlich für noch mehr Summanden. Auch hier entsteht die Resultante durch Tilgung der Eliminanden. — Nach ν) haben wir nun insbesondere: π) (p a1 + q b1 ≠ 0)  (p + q ≠ 0). Multiplizirt man dies „beiderseits“ (nicht „überschiebend“!) mit (a b = 0), so folgt aus dem Ergebnisse: (a b = 0) (p a1 + q b1 ≠ 0)  (a b = 0) (p + q ≠ 0) in Verbindung mit ι) a fortiori auch: (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0)  (a b = 0) (p + q ≠ 0), oder: ϱ) (a1 x + b1 x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0)  (a1 + b1 = 1) (p + q ≠ 0). Auch bei diesem Problem erhält man also, wofern man nur eine bestimmte Form des Ansatzes — nämlich die linkerhand in ϱ) — wählt, als richtige Folgerung eine Resultante der Elimination, indem man die Eliminanden x, x1 aus der Prämisse herausradirt. Diese Resultante wird aber im allgemeinen durchaus nicht die volle Resultante sein; vielmehr wird dieselbe entschieden weniger aus- sagen, als wirklich in Bezug auf a, b, p, q aus der Prämisse gefolgert werden kann. Es ist nämlich leicht zu sehen, dass die Subsumtion π) nicht umkehr-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 208. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/232>, abgerufen am 05.05.2024.