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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
§ 28 dargelegten Weise) verstanden werden dürften. Auch dann noch
würde z) zu der daselbst links angegebenen Prämisse rechts wiederum die
Eliminationsresultante zur Konklusion geben; oder: Auch wenn die Prä-
misse A nur manchmal gilt, muss die Resultante B auch manchmal gelten
-- allermindestens nämlich eben dann, wann A zutrifft.

Nehmen wir jetzt auch in Angriff die Aufgabe. Aus zwei oder
mehr simultanen Ungleichungen:
(p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ...
ein Gebietsymbol x zu eliminiren.

Auflösung. Multiplizirt man die nach dem vorigen Unter-
suchungsergebnisse g) geltenden Subsumtionen:
(p x + q x1 0) (p + q 0), (r x + s x1 0) (r + s 0), ...
nach Th. 17x) überschiebend miteinander, so erhält man den Satz:
e) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ... (p + q 0) (r + s 0) ...
und erkennt man hieraus -- wenn man will, auch unter Inanspruch-
nahme der soeben unter z) ausgeführten Überlegung, für A und B
gedeutet als linke und rechte Seite von e) -- dass in diesem Satze
die Aussage rechterhand eine richtige Resultante der Elimination des x
aus der linkseitigen Annahme vorstellen muss.

Diese Resultante ist auffallenderweise dieselbe, als ob wir ein
System voneinander unabhängig beliebiger Klassen x, y, ... aus den
Prämissen
(p x + q x1 0) (r y + s y1 0) ...
zu eliminiren gehabt hätten. Und dieser Umstand wird von vornherein
die Vollständigkeit der in e) gegebenen Eliminationsresultante fraglich,
ja unwahrscheinlich erscheinen lassen. Es muss ja doch etwas zu be-
deuten haben, dass es das nämliche Gebiet x ist, welches zugleich mit
der ersten auch die noch folgenden Ungleichungen simultan erfüllt!

Die Frage nach dieser Vollständigkeit der angeführten Resultante
ist in der That hier, ganz strenge genommen, nicht zu bejahen, über-
haupt aber im obigen Probleme entfernt nicht so einfach zu beant-
worten, wie in den vorhergehenden Fällen. Ich habe diese Frage bei
dem allgemeinsten Eliminationsprobleme ohnehin eingehend zu be-
sprechen, und will dieselbe bis dahin zurückstellen.

Von den drei bis jetzt behandelten Spezialproblemen, deren Lösungen
durch b), g) und e) gegeben werden, begreift unser drittes e) das

Neunzehnte Vorlesung.
§ 28 dargelegten Weise) verstanden werden dürften. Auch dann noch
würde ζ) zu der daselbst links angegebenen Prämisse rechts wiederum die
Eliminationsresultante zur Konklusion geben; oder: Auch wenn die Prä-
misse A nur manchmal gilt, muss die Resultante B auch manchmal gelten
— allermindestens nämlich eben dann, wann A zutrifft.

Nehmen wir jetzt auch in Angriff die Aufgabe. Aus zwei oder
mehr simultanen Ungleichungen:
(p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …
ein Gebietsymbol x zu eliminiren.

Auflösung. Multiplizirt man die nach dem vorigen Unter-
suchungsergebnisse γ) geltenden Subsumtionen:
(p x + q x1 ≠ 0) ⊆ (p + q ≠ 0), (r x + s x1 ≠ 0) ⊆ (r + s ≠ 0), …
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η) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … ⊆ (p + q ≠ 0) (r + s ≠ 0) …
und erkennt man hieraus — wenn man will, auch unter Inanspruch-
nahme der soeben unter ζ) ausgeführten Überlegung, für A und B
gedeutet als linke und rechte Seite von η) — dass in diesem Satze
die Aussage rechterhand eine richtige Resultante der Elimination des x
aus der linkseitigen Annahme vorstellen muss.

Diese Resultante ist auffallenderweise dieselbe, als ob wir ein
System voneinander unabhängig beliebiger Klassen x, y, … aus den
Prämissen
(p x + q x1 ≠ 0) (r y + s y1 ≠ 0) …
zu eliminiren gehabt hätten. Und dieser Umstand wird von vornherein
die Vollständigkeit der in η) gegebenen Eliminationsresultante fraglich,
ja unwahrscheinlich erscheinen lassen. Es muss ja doch etwas zu be-
deuten haben, dass es das nämliche Gebiet x ist, welches zugleich mit
der ersten auch die noch folgenden Ungleichungen simultan erfüllt!

Die Frage nach dieser Vollständigkeit der angeführten Resultante
ist in der That hier, ganz strenge genommen, nicht zu bejahen, über-
haupt aber im obigen Probleme entfernt nicht so einfach zu beant-
worten, wie in den vorhergehenden Fällen. Ich habe diese Frage bei
dem allgemeinsten Eliminationsprobleme ohnehin eingehend zu be-
sprechen, und will dieselbe bis dahin zurückstellen.

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durch β), γ) und η) gegeben werden, begreift unser drittes η) das

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[204/0228] Neunzehnte Vorlesung. § 28 dargelegten Weise) verstanden werden dürften. Auch dann noch würde ζ) zu der daselbst links angegebenen Prämisse rechts wiederum die Eliminationsresultante zur Konklusion geben; oder: Auch wenn die Prä- misse A nur manchmal gilt, muss die Resultante B auch manchmal gelten — allermindestens nämlich eben dann, wann A zutrifft. Nehmen wir jetzt auch in Angriff die Aufgabe. Aus zwei oder mehr simultanen Ungleichungen: (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … ein Gebietsymbol x zu eliminiren. Auflösung. Multiplizirt man die nach dem vorigen Unter- suchungsergebnisse γ) geltenden Subsumtionen: (p x + q x1 ≠ 0)  (p + q ≠ 0), (r x + s x1 ≠ 0)  (r + s ≠ 0), … nach Th. 1̅7̅×) überschiebend miteinander, so erhält man den Satz: η) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …  (p + q ≠ 0) (r + s ≠ 0) … und erkennt man hieraus — wenn man will, auch unter Inanspruch- nahme der soeben unter ζ) ausgeführten Überlegung, für A und B gedeutet als linke und rechte Seite von η) — dass in diesem Satze die Aussage rechterhand eine richtige Resultante der Elimination des x aus der linkseitigen Annahme vorstellen muss. Diese Resultante ist auffallenderweise dieselbe, als ob wir ein System voneinander unabhängig beliebiger Klassen x, y, … aus den Prämissen (p x + q x1 ≠ 0) (r y + s y1 ≠ 0) … zu eliminiren gehabt hätten. Und dieser Umstand wird von vornherein die Vollständigkeit der in η) gegebenen Eliminationsresultante fraglich, ja unwahrscheinlich erscheinen lassen. Es muss ja doch etwas zu be- deuten haben, dass es das nämliche Gebiet x ist, welches zugleich mit der ersten auch die noch folgenden Ungleichungen simultan erfüllt! Die Frage nach dieser Vollständigkeit der angeführten Resultante ist in der That hier, ganz strenge genommen, nicht zu bejahen, über- haupt aber im obigen Probleme entfernt nicht so einfach zu beant- worten, wie in den vorhergehenden Fällen. Ich habe diese Frage bei dem allgemeinsten Eliminationsprobleme ohnehin eingehend zu be- sprechen, und will dieselbe bis dahin zurückstellen. Von den drei bis jetzt behandelten Spezialproblemen, deren Lösungen durch β), γ) und η) gegeben werden, begreift unser drittes η) das

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 204. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/228>, abgerufen am 05.05.2024.