§ 40. Mitchell's allgem. Form der Data zusammenfassenden Gesamtaussage.
Nach seiner oben geschilderten Zusammensetzung ist nämlich das Polynom A weiter nichts, als eine "Funktion" (im identischen Kalkul, im Sinne des § 19) von diesen unmittelbaren Unteraussagen.
Nach § 13 und § 19 kann diese Funktion immer in ihre "letzten Aggreganten" zerlegt werden, d. h. wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit sie in Form eines Aggregates (einer Summe) von Mo- nomen gegeben annehmen.
Die Faktoren dieser Monome sollen ja selbst Aussagen sein, und sind darum in letzter Instanz entweder Gleichungen oder Ungleichungen. In beiden Fällen können wir sie uns rechts auf 0 gebracht denken. Stellen wir dabei diejenigen, welche Gleichungen sind, nebeneinander, und fassen ebenso die Ungleichungen unter ihnen in eine Gruppe zu- sammen, so erhalten wir: r) A = S P (A = 0) P (B 0) als die denkbar allgemeinste Form der Gesamtaussage A.
Nach Th. 24) oder b) des gegenwärtigen Paragraphen lässt aber (in jedem Glied der vorstehenden Summe) das Produkt der Gleichungen s) P (A = 0) = (S A = 0) sich immer in eine einzige Gleichung zusammenziehen. Und wenn wir nun, einen Wechsel der Bezeichnung vornehmend, den Ausdruck S A kürzer durch das Symbol A selbst vertreten lassen, so ist hiemit er- kannt, dass t)
A, = S (A = 0) P (B 0) = i 0
die allgemeine Form der Gesamtaussage ist.
Schreiben wir das allgemeine Glied rechterhand ausführlicher, indem wir unter Verzicht auf das zusammenfassende Zeichen P ein wirk- liches Produkt von Ungleichungen ansetzen, so ist also unser Ergeb- niss dieses:
Die Aussage, welche alle Data eines beliebigen Problems zusammen- fassend darstellt, sie zu einer Gesamtaussage in sich vereinigt, kann stets ausgedrückt werden in der Form: u)
S (A = 0) (B 0) (C 0) (D 0) ... = i 0
wo die Symbole A, B, C, D, ... sowie deren Anzahl von Glied zu Glied wechseln mögen.
Es dürfen sogar die Faktoren der einen oder andern Sorte, nämlich die eine Gleichung, oder die ganze Gruppe von Ungleichungen in einzelnen Gliedern (der Summen linkerhand) auch ausfallen, fehlen. Doch kann man,
§ 40. Mitchell’s allgem. Form der Data zusammenfassenden Gesamtaussage.
Nach seiner oben geschilderten Zusammensetzung ist nämlich das Polynom Α weiter nichts, als eine „Funktion“ (im identischen Kalkul, im Sinne des § 19) von diesen unmittelbaren Unteraussagen.
Nach § 13 und § 19 kann diese Funktion immer in ihre „letzten Aggreganten“ zerlegt werden, d. h. wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit sie in Form eines Aggregates (einer Summe) von Mo- nomen gegeben annehmen.
Die Faktoren dieser Monome sollen ja selbst Aussagen sein, und sind darum in letzter Instanz entweder Gleichungen oder Ungleichungen. In beiden Fällen können wir sie uns rechts auf 0 gebracht denken. Stellen wir dabei diejenigen, welche Gleichungen sind, nebeneinander, und fassen ebenso die Ungleichungen unter ihnen in eine Gruppe zu- sammen, so erhalten wir: ϱ) Α = Σ Π (A = 0) Π (B ≠ 0) als die denkbar allgemeinste Form der Gesamtaussage Α.
Nach Th. 24) oder β) des gegenwärtigen Paragraphen lässt aber (in jedem Glied der vorstehenden Summe) das Produkt der Gleichungen σ) Π (A = 0) = (Σ A = 0) sich immer in eine einzige Gleichung zusammenziehen. Und wenn wir nun, einen Wechsel der Bezeichnung vornehmend, den Ausdruck Σ A kürzer durch das Symbol A selbst vertreten lassen, so ist hiemit er- kannt, dass τ)
Α, = Σ (A = 0) Π (B ≠ 0) = i ≠ 0
die allgemeine Form der Gesamtaussage ist.
Schreiben wir das allgemeine Glied rechterhand ausführlicher, indem wir unter Verzicht auf das zusammenfassende Zeichen Π ein wirk- liches Produkt von Ungleichungen ansetzen, so ist also unser Ergeb- niss dieses:
Die Aussage, welche alle Data eines beliebigen Problems zusammen- fassend darstellt, sie zu einer Gesamtaussage in sich vereinigt, kann stets ausgedrückt werden in der Form: υ)
Σ (A = 0) (B ≠ 0) (C ≠ 0) (D ≠ 0) … = i ≠ 0
wo die Symbole A, B, C, D, … sowie deren Anzahl von Glied zu Glied wechseln mögen.
Es dürfen sogar die Faktoren der einen oder andern Sorte, nämlich die eine Gleichung, oder die ganze Gruppe von Ungleichungen in einzelnen Gliedern (der Summen linkerhand) auch ausfallen, fehlen. Doch kann man,
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§ 40. Mitchell’s allgem. Form der Data zusammenfassenden Gesamtaussage.
Nach seiner oben geschilderten Zusammensetzung ist nämlich das
Polynom Α weiter nichts, als eine „Funktion“ (im identischen Kalkul,
im Sinne des § 19) von diesen unmittelbaren Unteraussagen.
Nach § 13 und § 19 kann diese Funktion immer in ihre „letzten
Aggreganten“ zerlegt werden, d. h. wir können ohne Beschränkung der
Allgemeinheit sie in Form eines Aggregates (einer Summe) von Mo-
nomen gegeben annehmen.
Die Faktoren dieser Monome sollen ja selbst Aussagen sein, und
sind darum in letzter Instanz entweder Gleichungen oder Ungleichungen.
In beiden Fällen können wir sie uns rechts auf 0 gebracht denken.
Stellen wir dabei diejenigen, welche Gleichungen sind, nebeneinander,
und fassen ebenso die Ungleichungen unter ihnen in eine Gruppe zu-
sammen, so erhalten wir:
ϱ) Α = Σ Π (A = 0) Π (B ≠ 0)
als die denkbar allgemeinste Form der Gesamtaussage Α.
Nach Th. 24) oder β) des gegenwärtigen Paragraphen lässt aber
(in jedem Glied der vorstehenden Summe) das Produkt der Gleichungen
σ) Π (A = 0) = (Σ A = 0)
sich immer in eine einzige Gleichung zusammenziehen. Und wenn wir
nun, einen Wechsel der Bezeichnung vornehmend, den Ausdruck Σ A
kürzer durch das Symbol A selbst vertreten lassen, so ist hiemit er-
kannt, dass
τ) Α, = Σ (A = 0) Π (B ≠ 0) = i
≠ 0
die allgemeine Form der Gesamtaussage ist.
Schreiben wir das allgemeine Glied rechterhand ausführlicher, indem
wir unter Verzicht auf das zusammenfassende Zeichen Π ein wirk-
liches Produkt von Ungleichungen ansetzen, so ist also unser Ergeb-
niss dieses:
Die Aussage, welche alle Data eines beliebigen Problems zusammen-
fassend darstellt, sie zu einer Gesamtaussage in sich vereinigt, kann stets
ausgedrückt werden in der Form:
υ) Σ (A = 0) (B ≠ 0) (C ≠ 0) (D ≠ 0) … = i
≠ 0
wo die Symbole A, B, C, D, … sowie deren Anzahl von Glied zu Glied
wechseln mögen.
Es dürfen sogar die Faktoren der einen oder andern Sorte, nämlich
die eine Gleichung, oder die ganze Gruppe von Ungleichungen in einzelnen
Gliedern (der Summen linkerhand) auch ausfallen, fehlen. Doch kann man,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 189. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/213>, abgerufen am 05.05.2024.
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