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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
bei Ungleichung im Grunde nicht, weil in solchem Falle die Aussage
als 1 0 eine nichtssagende würde und als simultan abgegebne zu
unterdrücken wäre etc.). Nach den auch auf drei Terme a, b, g zu
verallgemeinernden Schemata (die irgend welche von unsern 4 Kon-
stituenten rechts repräsentiren sollen):
(a + b = 0) = (a = 0) (b = 0), (a + b 0) = (a 0) + (b 0)
liefe also die Aussage f = 0 sowol wie die f 0 auf lauter "primi-
tive" oder De Morgan'sche Urteile hinaus. Und jede Funktion von
solchen Produkten oder Summen De Morgan'scher Urteile muss
wiederum eine Funktion auch von diesen Urteilen selbst sein, d. h.
wir haben F (a, b, c, l) als die allgemeinste Aussage, wie oben be-
hauptet worden.

Diese Funktion F können wir uns ihrerseits wieder nach ihren
vier Argumenten a, b, c, l entwickelt denken. Die Entwickelung prä-
sentirt sich als irgend eine additive Kombination gebildet aus den
Konstituenten der Entwickelung der i des Aussagenkalkuls, welche
ja alle erdenklichen Gelegenheiten zu einer Aussage in eine Klasse
zusammenfasste, sie vereinigte zu der Klasse der überhaupt möglichen
Fälle. Von den 24 = 16 Konstituenten dieser Entwickelung ver-
schwindet aber der erste. Wir haben die Inkonsistenz:
a b c l = 0
weil, wie schon S. 138 ausgeführt, die gleichzeitige Geltung der vier
linkseitigen Faktoraussagen die Forderung 1 = 0 involviren würde.

Und somit haben wir:
1 = a b c l1 + a b c1 l + a b c1 l1 + a b1 c l + a b1 c l1 + a b1 c1 l + a b1 c1 l1 +
+ a1 b c l + a1 b c l1 + a1 b c1 l + a1 b c1 l1 + a1 b1 c l + a1 b1 c l1 + a1 b1 c1 l + a1 b1 c1 l1

Jeder von diesen 24 -- 1 = 15 Konstituenten ist in der Entwickelung
unsrer Aussage F (a, b, c, l) = i entweder gar nicht oder ganz als
Glied vertreten, nur können nicht sämtliche Konstituenten darin den
Koeffizienten 0 haben, weil sonst die Aussage auf 0 = i hinauskäme.
Wir haben also an möglichen Bildungsweisen des F diese
[Formel 1] ,
wovon die erwähnte letzte in Abzug zu bringen ist, und 215 -- 1 als
die hiermit gefundene Anzahl der über A und B abgebbaren Aus-
sagen bleibt.

Unter Festhalten der Reihenfolge obiger 15 Konstituenten könnte man

§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
bei Ungleichung im Grunde nicht, weil in solchem Falle die Aussage
als 1 ≠ 0 eine nichtssagende würde und als simultan abgegebne zu
unterdrücken wäre etc.). Nach den auch auf drei Terme α, β, γ zu
verallgemeinernden Schemata (die irgend welche von unsern 4 Kon-
stituenten rechts repräsentiren sollen):
(α + β = 0) = (α = 0) (β = 0), (α + β ≠ 0) = (α ≠ 0) + (β ≠ 0)
liefe also die Aussage f = 0 sowol wie die f ≠ 0 auf lauter „primi-
tive“ oder De Morgan’sche Urteile hinaus. Und jede Funktion von
solchen Produkten oder Summen De Morgan’scher Urteile muss
wiederum eine Funktion auch von diesen Urteilen selbst sein, d. h.
wir haben F (a, b, c, l) als die allgemeinste Aussage, wie oben be-
hauptet worden.

Diese Funktion F können wir uns ihrerseits wieder nach ihren
vier Argumenten a, b, c, l entwickelt denken. Die Entwickelung prä-
sentirt sich als irgend eine additive Kombination gebildet aus den
Konstituenten der Entwickelung der i des Aussagenkalkuls, welche
ja alle erdenklichen Gelegenheiten zu einer Aussage in eine Klasse
zusammenfasste, sie vereinigte zu der Klasse der überhaupt möglichen
Fälle. Von den 24 = 16 Konstituenten dieser Entwickelung ver-
schwindet aber der erste. Wir haben die Inkonsistenz:
a b c l = 0
weil, wie schon S. 138 ausgeführt, die gleichzeitige Geltung der vier
linkseitigen Faktoraussagen die Forderung 1 = 0 involviren würde.

Und somit haben wir:
1 = a b c l1 + a b c1 l + a b c1 l1 + a b1 c l + a b1 c l1 + a b1 c1 l + a b1 c1 l1 +
+ a1 b c l + a1 b c l1 + a1 b c1 l + a1 b c1 l1 + a1 b1 c l + a1 b1 c l1 + a1 b1 c1 l + a1 b1 c1 l1

Jeder von diesen 24 — 1 = 15 Konstituenten ist in der Entwickelung
unsrer Aussage F (a, b, c, l) = i entweder gar nicht oder ganz als
Glied vertreten, nur können nicht sämtliche Konstituenten darin den
Koeffizienten 0 haben, weil sonst die Aussage auf 0 = i hinauskäme.
Wir haben also an möglichen Bildungsweisen des F diese
[Formel 1] ,
wovon die erwähnte letzte in Abzug zu bringen ist, und 215 — 1 als
die hiermit gefundene Anzahl der über A und B abgebbaren Aus-
sagen bleibt.

Unter Festhalten der Reihenfolge obiger 15 Konstituenten könnte man

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[173/0197] § 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. bei Ungleichung im Grunde nicht, weil in solchem Falle die Aussage als 1 ≠ 0 eine nichtssagende würde und als simultan abgegebne zu unterdrücken wäre etc.). Nach den auch auf drei Terme α, β, γ zu verallgemeinernden Schemata (die irgend welche von unsern 4 Kon- stituenten rechts repräsentiren sollen): (α + β = 0) = (α = 0) (β = 0), (α + β ≠ 0) = (α ≠ 0) + (β ≠ 0) liefe also die Aussage f = 0 sowol wie die f ≠ 0 auf lauter „primi- tive“ oder De Morgan’sche Urteile hinaus. Und jede Funktion von solchen Produkten oder Summen De Morgan’scher Urteile muss wiederum eine Funktion auch von diesen Urteilen selbst sein, d. h. wir haben F (a, b, c, l) als die allgemeinste Aussage, wie oben be- hauptet worden. Diese Funktion F können wir uns ihrerseits wieder nach ihren vier Argumenten a, b, c, l entwickelt denken. Die Entwickelung prä- sentirt sich als irgend eine additive Kombination gebildet aus den Konstituenten der Entwickelung der i des Aussagenkalkuls, welche ja alle erdenklichen Gelegenheiten zu einer Aussage in eine Klasse zusammenfasste, sie vereinigte zu der Klasse der überhaupt möglichen Fälle. Von den 24 = 16 Konstituenten dieser Entwickelung ver- schwindet aber der erste. Wir haben die Inkonsistenz: a b c l = 0 weil, wie schon S. 138 ausgeführt, die gleichzeitige Geltung der vier linkseitigen Faktoraussagen die Forderung 1 = 0 involviren würde. Und somit haben wir: 1 = a b c l1 + a b c1 l + a b c1 l1 + a b1 c l + a b1 c l1 + a b1 c1 l + a b1 c1 l1 + + a1 b c l + a1 b c l1 + a1 b c1 l + a1 b c1 l1 + a1 b1 c l + a1 b1 c l1 + a1 b1 c1 l + a1 b1 c1 l1 Jeder von diesen 24 — 1 = 15 Konstituenten ist in der Entwickelung unsrer Aussage F (a, b, c, l) = i entweder gar nicht oder ganz als Glied vertreten, nur können nicht sämtliche Konstituenten darin den Koeffizienten 0 haben, weil sonst die Aussage auf 0 = i hinauskäme. Wir haben also an möglichen Bildungsweisen des F diese [FORMEL], wovon die erwähnte letzte in Abzug zu bringen ist, und 215 — 1 als die hiermit gefundene Anzahl der über A und B abgebbaren Aus- sagen bleibt. Unter Festhalten der Reihenfolge obiger 15 Konstituenten könnte man

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 173. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/197>, abgerufen am 15.04.2024.