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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.

Gegenüber den Gepflogenheiten der Wortsprache gestatten wir
uns allerdings die Freiheit, die Verneinungspartikel auch beim Subjekt
des Urteils anzubringen, mithin auch Urteile zu bilden wie dieses:
Alle Nicht-A sind B ("Quali-fikation des Subjektes"! -- der sogenannten
"Quantifikation des Prädikates" dagegen mögen wir entraten).

Wir sind darnach im stande, über A und B zunächst die acht
De Morgan'schen Urteile zu statuiren:
a = (A B = 0), b = (A1 B = 0), c = (A B1 = 0), l = (A1 B1 = 0),
a1 = (A B 0), b1 = (A1 B 0), c1 = A B1 0), l1 = (A1 B1 0),
und sei erinnert, dass in Worten lautet:
a = (Alle A sind nicht B), a1 = (Einige A sind B),
woraus nun aber die andern Urteile hervorgehen werden mittelst Er-
setzung von A durch A1, oder nicht-A, ev. von B durch B1, d. h.
nicht-B, und ersichtlich wird, dass wirklich durchaus mit unsern sechs
Worten auszukommen ist.

Dabei bleiben schon Vereinfachungen unbenommen, wie man denn
z. B. c sprechen wird = (Alle A sind B) nämlich "nicht nicht-B", etc.

Sozusagen als ein verfügbarer Luxus steht uns übrigens alsbald eine
viel grössere copia verborum und Fülle von Ausdrucksweisen zu Gebote.

So mag a auch = (Kein A ist B) gesprochen werden, und neben
"alle" und "einige" verfügen wir auch über das numerale Adjektiv "keine".

Ferner mag c = (Jedes A ist B) lauten, etc.

Auch stehen uns schon bejahende sowol als verneinende Existenzial-
urteile zu Gebote. So wäre die Aussage: (Nichts ist A), = (Es gibt keine
A) äquivalent der als simultane zusammengesetzten Aussage: (Alle A sind
B) und zugleich (Kein A ist B, sive: Alle A sind nicht B); wogegen die
Aussage: (Es gibt A) = (Etwas ist A) auf die Alternative von De Mor-
gan'schen Urteilen hinausliefe: Entweder "einige A sind B" oder "einige A
sind nicht B" -- wobei das "zugleich" sowie das "entweder" blos rheto-
rische Verzierung. Wir verfügen somit auch schon über "nichts", etwas und
"alles". "Alles ist A" käme hinaus auf "Nichts ist nicht-A". Etc. Wir
verfügten, falls wir wollten, auch über das Relativpronomen, könnten reden
von den A, welche B sind, z. B. a1 übersetzen mit: Es gibt A, die B sind.
Etc. Mit "und" zugleich wird uns "sowol als auch", mit "entweder .. oder"
wird uns mittelst Verneinung auch "weder .. noch" gegeben erscheinen. Etc.
Doch dies nur nebenbei.

Wir brauchen nun blos zu untersuchen, wie vielerlei Aussagen
sich mittelst der Partikeln "und", "oder" (und "nicht", die aber schon
entbehrt werden könnte) aus den acht De Morgan'schen Urteilen
aufbauen lassen, so werden wir eine Zahl erhalten, die jedenfalls nicht
grösser sein kann, als die gesuchte Anzahl der überhaupt erdenklichen

§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.

Gegenüber den Gepflogenheiten der Wortsprache gestatten wir
uns allerdings die Freiheit, die Verneinungspartikel auch beim Subjekt
des Urteils anzubringen, mithin auch Urteile zu bilden wie dieses:
Alle Nicht-A sind B („Quali-fikation des Subjektes“! — der sogenannten
„Quantifikation des Prädikates“ dagegen mögen wir entraten).

Wir sind darnach im stande, über A und B zunächst die acht
De Morgan’schen Urteile zu statuiren:
a = (A B = 0), b = (A1 B = 0), c = (A B1 = 0), l = (A1 B1 = 0),
a1 = (A B ≠ 0), b1 = (A1 B ≠ 0), c1 = A B1 ≠ 0), l1 = (A1 B1 ≠ 0),
und sei erinnert, dass in Worten lautet:
a = (Alle A sind nicht B), a1 = (Einige A sind B),
woraus nun aber die andern Urteile hervorgehen werden mittelst Er-
setzung von A durch A1, oder nicht-A, ev. von B durch B1, d. h.
nicht-B, und ersichtlich wird, dass wirklich durchaus mit unsern sechs
Worten auszukommen ist.

Dabei bleiben schon Vereinfachungen unbenommen, wie man denn
z. B. c sprechen wird = (Alle A sind B) nämlich „nicht nicht-B“, etc.

Sozusagen als ein verfügbarer Luxus steht uns übrigens alsbald eine
viel grössere copia verborum und Fülle von Ausdrucksweisen zu Gebote.

So mag a auch = (Kein A ist B) gesprochen werden, und neben
„alle“ und „einige“ verfügen wir auch über das numerale Adjektiv „keine“.

Ferner mag c = (Jedes A ist B) lauten, etc.

Auch stehen uns schon bejahende sowol als verneinende Existenzial-
urteile zu Gebote. So wäre die Aussage: (Nichts ist A), = (Es gibt keine
A) äquivalent der als simultane zusammengesetzten Aussage: (Alle A sind
B) und zugleich (Kein A ist B, sive: Alle A sind nicht B); wogegen die
Aussage: (Es gibt A) = (Etwas ist A) auf die Alternative von De Mor-
gan’schen Urteilen hinausliefe: Entweder „einige A sind B“ oder „einige A
sind nicht B“ — wobei das „zugleich“ sowie das „entweder“ blos rheto-
rische Verzierung. Wir verfügen somit auch schon über „nichts“, etwas und
„alles“. „Alles ist A“ käme hinaus auf „Nichts ist nicht-A“. Etc. Wir
verfügten, falls wir wollten, auch über das Relativpronomen, könnten reden
von den A, welche B sind, z. B. a1 übersetzen mit: Es gibt A, die B sind.
Etc. Mit „und“ zugleich wird uns „sowol als auch“, mit „entweder ‥ oder“
wird uns mittelst Verneinung auch „weder ‥ noch“ gegeben erscheinen. Etc.
Doch dies nur nebenbei.

Wir brauchen nun blos zu untersuchen, wie vielerlei Aussagen
sich mittelst der Partikeln „und“, „oder“ (und „nicht“, die aber schon
entbehrt werden könnte) aus den acht De Morgan’schen Urteilen
aufbauen lassen, so werden wir eine Zahl erhalten, die jedenfalls nicht
grösser sein kann, als die gesuchte Anzahl der überhaupt erdenklichen

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[171/0195] § 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. Gegenüber den Gepflogenheiten der Wortsprache gestatten wir uns allerdings die Freiheit, die Verneinungspartikel auch beim Subjekt des Urteils anzubringen, mithin auch Urteile zu bilden wie dieses: Alle Nicht-A sind B („Quali-fikation des Subjektes“! — der sogenannten „Quantifikation des Prädikates“ dagegen mögen wir entraten). Wir sind darnach im stande, über A und B zunächst die acht De Morgan’schen Urteile zu statuiren: a = (A B = 0), b = (A1 B = 0), c = (A B1 = 0), l = (A1 B1 = 0), a1 = (A B ≠ 0), b1 = (A1 B ≠ 0), c1 = A B1 ≠ 0), l1 = (A1 B1 ≠ 0), und sei erinnert, dass in Worten lautet: a = (Alle A sind nicht B), a1 = (Einige A sind B), woraus nun aber die andern Urteile hervorgehen werden mittelst Er- setzung von A durch A1, oder nicht-A, ev. von B durch B1, d. h. nicht-B, und ersichtlich wird, dass wirklich durchaus mit unsern sechs Worten auszukommen ist. Dabei bleiben schon Vereinfachungen unbenommen, wie man denn z. B. c sprechen wird = (Alle A sind B) nämlich „nicht nicht-B“, etc. Sozusagen als ein verfügbarer Luxus steht uns übrigens alsbald eine viel grössere copia verborum und Fülle von Ausdrucksweisen zu Gebote. So mag a auch = (Kein A ist B) gesprochen werden, und neben „alle“ und „einige“ verfügen wir auch über das numerale Adjektiv „keine“. Ferner mag c = (Jedes A ist B) lauten, etc. Auch stehen uns schon bejahende sowol als verneinende Existenzial- urteile zu Gebote. So wäre die Aussage: (Nichts ist A), = (Es gibt keine A) äquivalent der als simultane zusammengesetzten Aussage: (Alle A sind B) und zugleich (Kein A ist B, sive: Alle A sind nicht B); wogegen die Aussage: (Es gibt A) = (Etwas ist A) auf die Alternative von De Mor- gan’schen Urteilen hinausliefe: Entweder „einige A sind B“ oder „einige A sind nicht B“ — wobei das „zugleich“ sowie das „entweder“ blos rheto- rische Verzierung. Wir verfügen somit auch schon über „nichts“, etwas und „alles“. „Alles ist A“ käme hinaus auf „Nichts ist nicht-A“. Etc. Wir verfügten, falls wir wollten, auch über das Relativpronomen, könnten reden von den A, welche B sind, z. B. a1 übersetzen mit: Es gibt A, die B sind. Etc. Mit „und“ zugleich wird uns „sowol als auch“, mit „entweder ‥ oder“ wird uns mittelst Verneinung auch „weder ‥ noch“ gegeben erscheinen. Etc. Doch dies nur nebenbei. Wir brauchen nun blos zu untersuchen, wie vielerlei Aussagen sich mittelst der Partikeln „und“, „oder“ (und „nicht“, die aber schon entbehrt werden könnte) aus den acht De Morgan’schen Urteilen aufbauen lassen, so werden wir eine Zahl erhalten, die jedenfalls nicht grösser sein kann, als die gesuchte Anzahl der überhaupt erdenklichen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 171. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/195>, abgerufen am 04.05.2024.