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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.

Seite 352. Auch bei dem Beweis der Theoreme 36) De Morgan's, wo wir uns
nochmals auf das Hülfstheorem 29) beriefen, würde dieses sich entbehren
lassen mittelst folgender Variante der Beweisführung [bei der wir uns
auch auf das Distributionsgesetz 27) nun schon berufen dürfen] -- z. B.
links vom Mittelstriche.
Behauptung: Th. 36x) (a b)1 = a1 + b1.
Beweis. Nach 21x), 30+), IIIx, 27x), 30x) und 21+) ist:
a1 + b1 = (a1 + b1) . 1 = (a1 + b1){(a b) + (a b)1} = (a1 + b1) a b + (a1 + b1) (a b)1 =
= a1 a b + b1 a b + (a1 + b1) (a b)1 = 0 + 0 + (a1 + b1) (a b)1 = (a b)1 (a1 + b1)
und nachdem aus dem Zusatz zu Th. 33+), Bd. 1, S. 308 erkannt
worden, dass a1 + b1 + a b = 1 ist -- indem ja die linke Seite hier
= a1 + a b1 + a b = a1 + a (b1 + b) = a1 + a . 1 = a1 + a
sein muss -- hat man auch nach 21x), diesem Ergebniss, 27x) etc. wie
vorhin:
(a b)1 = (a b)1 . 1 = (a b)1{a1 + b1 + a b} = (a b)1 (a1 + b1) + (a b)1 a b =
= (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1),
sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d.
Ähnlich rechts vom Mittelstriche in etwas kürzerer Darstellung
haben wir -- zunächst wegen a + b + a1 b1 = 1:
(a + b)1 = (a + b)1{a + b + a1 b1} = (a + b)1 a1 b1,
a1 b1 = a1 b1 {a + b + (a + b)1} = a1 b1 (a + b)1,
als Beweis des Theorems 36+): (a + b)1 = a1 b1.
Man sieht jedoch auch, wie durch das Vorannehmen des Hülfs-
theorems 29) alle jene Beweisführungen (von uns) vereinfacht wurden.
Höchst interessant ist auch noch der Beweis, welchen Herr Peirce5
p. 37 für die Theoreme 36) gibt.
Zu dem Ende hat man sich dessen Th. 41) ihnen vorausgeschickt
zu denken, für welches wir ja in der That Bd. 1, S. 364 auch einen
Beweis gegeben haben, der von den Theoremen 36) unabhängig ist und
sich als auf den spätesten Satz nur auf das Th. 33) berief. Nach
Peirce hat man für die bekannten Formeln De Morgan's

Th. 36) (a b)1 = a1 + b1

(a + b)1 = a1 b1

den folgenden
Beweis. Nach Th. 30) ist:

(a b) (a b)1 = 0

1 = (a + b) + (a + b)1

oder wegen Def. (1) und dem Assoziationsgesetze 13):

a b (a b)1 0

1 a + b + (a + b)1.

Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht
den Faktor a (von links) nach rechts, | das Glied a (von rechts) nach links,
so kommt:

b (a b)1 0 + a1 = a1

a1 . 1 = a1 b + (a + b)1

und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird:

(a b)1 a1 + b1

a1 b1 (a + b)1,

womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er-
scheinen.
Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce den Schluss der Konversion durch Kontraposition -- cf. Th. 37),
Bd. 1, S. 357 -- an auf die Theoreme 6)

Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.

Seite 352. Auch bei dem Beweis der Theoreme 36) De Morgan’s, wo wir uns
nochmals auf das Hülfstheorem 29) beriefen, würde dieses sich entbehren
lassen mittelst folgender Variante der Beweisführung [bei der wir uns
auch auf das Distributionsgesetz 27) nun schon berufen dürfen] — z. B.
links vom Mittelstriche.
Behauptung: Th. 36×) (a b)1 = a1 + b1.
Beweis. Nach 21×), 30+), III×, 27×), 30×) und 21+) ist:
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und nachdem aus dem Zusatz zu Th. 33+), Bd. 1, S. 308 erkannt
worden, dass a1 + b1 + a b = 1 ist — indem ja die linke Seite hier
= a1 + a b1 + a b = a1 + a (b1 + b) = a1 + a . 1 = a1 + a
sein muss — hat man auch nach 21×), diesem Ergebniss, 27×) etc. wie
vorhin:
(a b)1 = (a b)1 . 1 = (a b)1{a1 + b1 + a b} = (a b)1 (a1 + b1) + (a b)1 a b =
= (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1),
sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d.
Ähnlich rechts vom Mittelstriche in etwas kürzerer Darstellung
haben wir — zunächst wegen a + b + a1 b1 = 1:
(a + b)1 = (a + b)1{a + b + a1 b1} = (a + b)1 a1 b1,
a1 b1 = a1 b1 {a + b + (a + b)1} = a1 b1 (a + b)1,
als Beweis des Theorems 36+): (a + b)1 = a1 b1.
Man sieht jedoch auch, wie durch das Vorannehmen des Hülfs-
theorems 29) alle jene Beweisführungen (von uns) vereinfacht wurden.
Höchst interessant ist auch noch der Beweis, welchen Herr Peirce5
p. 37 für die Theoreme 36) gibt.
Zu dem Ende hat man sich dessen Th. 41) ihnen vorausgeschickt
zu denken, für welches wir ja in der That Bd. 1, S. 364 auch einen
Beweis gegeben haben, der von den Theoremen 36) unabhängig ist und
sich als auf den spätesten Satz nur auf das Th. 33) berief. Nach
Peirce hat man für die bekannten Formeln De Morgan’s

Th. 36) (a b)1 = a1 + b1

(a + b)1 = a1 b1

den folgenden
Beweis. Nach Th. 30) ist:

(a b) (a b)1 = 0

1 = (a + b) + (a + b)1

oder wegen Def. (1) und dem Assoziationsgesetze 13):

a b (a b)1 ⊆ 0

1 ⊆ a + b + (a + b)1.

Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht
den Faktor a (von links) nach rechts, | das Glied a (von rechts) nach links,
so kommt:

b (a b)1 ⊆ 0 + a1 = a1

a1 . 1 = a1 ⊆ b + (a + b)1

und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird:

(a b)1 ⊆ a1 + b1

a1 b1 ⊆ (a + b)1,

womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er-
scheinen.
Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce den Schluss der Konversion durch Kontraposition — cf. Th. 37),
Bd. 1, S. 357 — an auf die Theoreme 6)

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. X. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/18>, abgerufen am 18.04.2024.

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