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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.

Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf [Formel 1] = 56
Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in-
kompatibel, unzulässig fort die 4 x 6 = 24, in welchen ein Faktor
mit seiner Negation zusammentrifft (wie a a1 verbunden mit c, b, l,
c1, b1 oder l1; etc.).

Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder "Ternen"
ist unter unsern urwüchsigen Umfangsbeziehungen schon aufgezählt
gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden:

a1 c b = da c1 l = d01a b1 l = d10c b l1 = d11
a1 c b1 = ga c1 l1 = g01a b1 l1 = b10c b1 l1 = b11
a1 c1 b = ba1 c1 l = b01a1 b1 l = g10c1 b l1 = g11
a1 c1 b1 = g = aa1 c1 l1 = g01 = a01a1 b1 l1 = g10 = a10c1 b1 l1 = g11 = a11.
Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16:
y) a c ba c la b lc b l
a c b1a c l1a b l1c b1 l
a c1 ba1 c la1 b lc1 b l
a c1 b1a1 c l1a1 b l1c1 b1 l.

Von den [Formel 2] = 70 möglichen Quaternen könnte man
wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie
ein- oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben)
als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl
und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln.

Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene
Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe
zweimal als Faktor vor, so könnte das, da eine tautologische Wieder-
holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations-
strich sein, die Quaterne müsste also verschwinden. Jenachdem nun
in a c b l der erste, zweite, dritte oder vierte Faktor ohne oder mit
Negationsstrich steht, werden wir also 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16
möglicherweise zulässige Quaternen erhalten.

Von diesen war aber die eine: a c b l, welche = 0, als Inkonsistenz
zu verwerfen. Und mit Rücksicht auf letztere kommen von den 15
übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte)
Ternen zurück:

Achtzehnte Vorlesung.

Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf [Formel 1] = 56
Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in-
kompatibel, unzulässig fort die 4 × 6 = 24, in welchen ein Faktor
mit seiner Negation zusammentrifft (wie a a1 verbunden mit c, b, l,
c1, b1 oder l1; etc.).

Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder „Ternen“
ist unter unsern urwüchsigen Umfangsbeziehungen schon aufgezählt
gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden:

a1 c b = δa c1 l = δ01a b1 l = δ10c b l1 = δ11
a1 c b1 = γa c1 l1 = γ01a b1 l1 = β10c b1 l1 = β11
a1 c1 b = βa1 c1 l = β01a1 b1 l = γ10c1 b l1 = γ11
a1 c1 b1 = g = αa1 c1 l1 = g01 = α01a1 b1 l1 = g10 = α10c1 b1 l1 = g11 = α11.
Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16:
y) a c ba c la b lc b l
a c b1a c l1a b l1c b1 l
a c1 ba1 c la1 b lc1 b l
a c1 b1a1 c l1a1 b l1c1 b1 l.

Von den [Formel 2] = 70 möglichen Quaternen könnte man
wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie
ein- oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben)
als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl
und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln.

Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene
Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe
zweimal als Faktor vor, so könnte das, da eine tautologische Wieder-
holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations-
strich sein, die Quaterne müsste also verschwinden. Jenachdem nun
in a c b l der erste, zweite, dritte oder vierte Faktor ohne oder mit
Negationsstrich steht, werden wir also 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16
möglicherweise zulässige Quaternen erhalten.

Von diesen war aber die eine: a c b l, welche = 0, als Inkonsistenz
zu verwerfen. Und mit Rücksicht auf letztere kommen von den 15
übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte)
Ternen zurück:

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[140/0164] Achtzehnte Vorlesung. Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf [FORMEL] = 56 Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in- kompatibel, unzulässig fort die 4 × 6 = 24, in welchen ein Faktor mit seiner Negation zusammentrifft (wie a a1 verbunden mit c, b, l, c1, b1 oder l1; etc.). Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder „Ternen“ ist unter unsern urwüchsigen Umfangsbeziehungen schon aufgezählt gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden: a1 c b = δ a c1 l = δ01 a b1 l = δ10 c b l1 = δ11 a1 c b1 = γ a c1 l1 = γ01 a b1 l1 = β10 c b1 l1 = β11 a1 c1 b = β a1 c1 l = β01 a1 b1 l = γ10 c1 b l1 = γ11 a1 c1 b1 = g = α a1 c1 l1 = g01 = α01 a1 b1 l1 = g10 = α10 c1 b1 l1 = g11 = α11. Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16: y) a c b a c l a b l c b l a c b1 a c l1 a b l1 c b1 l a c1 b a1 c l a1 b l c1 b l a c1 b1 a1 c l1 a1 b l1 c1 b1 l. Von den [FORMEL] = 70 möglichen Quaternen könnte man wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie ein- oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben) als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln. Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe zweimal als Faktor vor, so könnte das, da eine tautologische Wieder- holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations- strich sein, die Quaterne müsste also verschwinden. Jenachdem nun in a c b l der erste, zweite, dritte oder vierte Faktor ohne oder mit Negationsstrich steht, werden wir also 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 möglicherweise zulässige Quaternen erhalten. Von diesen war aber die eine: a c b l, welche = 0, als Inkonsistenz zu verwerfen. Und mit Rücksicht auf letztere kommen von den 15 übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte) Ternen zurück:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 140. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/164>, abgerufen am 04.05.2024.