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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
lässt dieselbe in der That sich indirekt, durch "reductio ad absurdum"
beweisen:

Gälte nämlich zugleich:
(A B = 0) (A B1 = 0) (A1 B = 0) (A1 B1 = 0)
so hätten wir:
A B + A B1 + A1 B + A1 B1 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
und führte das Th. 34+) auf die Absurdität:
0 = 1.

Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII0, die an Einfachheit
nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der
gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt
werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht
auf die Relation a c b l = 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen
zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela-
tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc.

Erinnert man sich der vier Urteilsformen der Wortsprache, so
fällt der Umstand auf, dass es wieder vier Urteilsformen waren --
-- zusammen mit ihren Negationen aber acht Formen -- durch
welche alle Umfangsbeziehungen sich so ungezwungen darstellen liessen.
Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch.

Von den Buchstaben a, e, i, o haben wir von § 33 ab die beiden
a und e in einem Sinne gebraucht, der zu dem herkömmlichen dort-
selbst angegebenen in keiner Beziehung stand, vielmehr von demselben
wesentlich abwich. Nimmt man die Buchstaben wieder im früheren
in § 33 erläuterten Sinne, so sollen (zur Unterscheidung von der teil-
weise ihnen später beigelegten Bedeutung) dieselben nun in Gestalt
von a, e, ei, o mit einem Circumflexe versehen werden.

Es zeigt sich, dass
a = c = (A B1 = 0),
e = a = (A B = 0),
ei = a1 = (A B 0),
o = c1 = (A B1 0). --

Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten
"acht Propositionen" De Morgan's in deren gewöhnlichem Sinne, insofern
De Morgan, wenn er von "alle A" spricht, das Verschwinden dieser Sub-
jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht,
welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner "einige A"

Achtzehnte Vorlesung.
lässt dieselbe in der That sich indirekt, durch „reductio ad absurdum“
beweisen:

Gälte nämlich zugleich:
(A B = 0) (A B1 = 0) (A1 B = 0) (A1 B1 = 0)
so hätten wir:
A B + A B1 + A1 B + A1 B1 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
und führte das Th. 34+) auf die Absurdität:
0 = 1.

Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII0, die an Einfachheit
nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der
gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt
werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht
auf die Relation a c b l = 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen
zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela-
tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc.

Erinnert man sich der vier Urteilsformen der Wortsprache, so
fällt der Umstand auf, dass es wieder vier Urteilsformen waren —
— zusammen mit ihren Negationen aber acht Formen — durch
welche alle Umfangsbeziehungen sich so ungezwungen darstellen liessen.
Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch.

Von den Buchstaben a, e, i, o haben wir von § 33 ab die beiden
a und e in einem Sinne gebraucht, der zu dem herkömmlichen dort-
selbst angegebenen in keiner Beziehung stand, vielmehr von demselben
wesentlich abwich. Nimmt man die Buchstaben wieder im früheren
in § 33 erläuterten Sinne, so sollen (zur Unterscheidung von der teil-
weise ihnen später beigelegten Bedeutung) dieselben nun in Gestalt
von â, ê, î, ô mit einem Circumflexe versehen werden.

Es zeigt sich, dass
â = c = (A B1 = 0),
ê = a = (A B = 0),
î = a1 = (A B ≠ 0),
ô = c1 = (A B1 ≠ 0). —

Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten
„acht Propositionen“ De Morgan’s in deren gewöhnlichem Sinne, insofern
De Morgan, wenn er von „alle A“ spricht, das Verschwinden dieser Sub-
jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht,
welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner „einige A

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[138/0162] Achtzehnte Vorlesung. lässt dieselbe in der That sich indirekt, durch „reductio ad absurdum“ beweisen: Gälte nämlich zugleich: (A B = 0) (A B1 = 0) (A1 B = 0) (A1 B1 = 0) so hätten wir: A B + A B1 + A1 B + A1 B1 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 und führte das Th. 34+) auf die Absurdität: 0 = 1. Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII0, die an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht auf die Relation a c b l = 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela- tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc. Erinnert man sich der vier Urteilsformen der Wortsprache, so fällt der Umstand auf, dass es wieder vier Urteilsformen waren — — zusammen mit ihren Negationen aber acht Formen — durch welche alle Umfangsbeziehungen sich so ungezwungen darstellen liessen. Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch. Von den Buchstaben a, e, i, o haben wir von § 33 ab die beiden a und e in einem Sinne gebraucht, der zu dem herkömmlichen dort- selbst angegebenen in keiner Beziehung stand, vielmehr von demselben wesentlich abwich. Nimmt man die Buchstaben wieder im früheren in § 33 erläuterten Sinne, so sollen (zur Unterscheidung von der teil- weise ihnen später beigelegten Bedeutung) dieselben nun in Gestalt von â, ê, î, ô mit einem Circumflexe versehen werden. Es zeigt sich, dass â = c = (A B1 = 0), ê = a = (A B = 0), î = a1 = (A B ≠ 0), ô = c1 = (A B1 ≠ 0). — Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten „acht Propositionen“ De Morgan’s in deren gewöhnlichem Sinne, insofern De Morgan, wenn er von „alle A“ spricht, das Verschwinden dieser Sub- jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht, welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner „einige A“

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 138. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/162>, abgerufen am 23.04.2024.