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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.

Wenn z = e1 f1 (c + e) (d1 + h) bedeutet, so wird man ebenso mittelst
der Zwischenrechnung:
z = {(h k + h1 k1 a) + a + d} {(h + k) + b + g + d} {a + a + b + g} = a (h + k) (h k + h1 k1 a)
dies leicht reduziren zu:
z = h k. Etc.

In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei-
tragen, die Aufgabe der Reduktion einer Kollektivaussage auf den Typus
der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV0 und später
noch § 39, Tafel XVII0 vorbereitend zu erleichtern.

Für manch' ein Untersuchungsfeld ist ständig h = 0 und k = 0,
nämlich von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass A oder B
ein leeres Gebiet sei, "nichts" bedeute, oder, wie wir auch sagen können
"sinnlos" oder "undeutig" werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den
Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null
nicht adjungirt ist, nicht angehört. Eine Exemplifikation bildet die
Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen,
welche für das ganze Zahlengebiet, "explizirt" sind, niemals eines Wertes
entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch
der Arithmetik und Algebra 1 in Untersuchung gezogen habe. Da hier
h1 = i, k1 = i ist, so wird d = d, g = f, b = e, und da ohnehin
stets a = g, so geht die "Hauptgleichung" nebst dem Tableau III0
über in:

X0.i = a + d + e + f + g,
a1 = d + e + f + g, b = d + e, c = d + f,
b1 = a + f + g, c1 = a + e + g,
d1 = a + e + f + g, e1 = a + [Formel 1] + g, f1 = a + [Formel 2] + g, g1 = a + [Formel 3] ,
wo nunmehr die Terme rechterhand sämtlich disjunkt sind.

Wir können dann sagen, dass von den vier Zeichen der "Wert-
gemeinschaft":
, , , = (entsprechend a1, b, c, d)
das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen
oder ausarten können, wie ich dies schon 1 p. 148 bemerkte.

Die Tafeln VI0 und VII0 kommen dann von selbst in Wegfall,
und verlohnt es, zusammenzustellen, zu was sich die Tafeln VIII0 und
IX0 alsdann vereinfachen:

Achtzehnte Vorlesung.

Wenn z = e1 f1 (c + e) (d1 + h) bedeutet, so wird man ebenso mittelst
der Zwischenrechnung:
z = {(h k + h1 k1 a) + α + δ} {(h + k) + β + γ + δ} {a + α + β + γ} = a (h + k) (h k + h1 k1 a)
dies leicht reduziren zu:
z = h k. Etc.

In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei-
tragen, die Aufgabe der Reduktion einer Kollektivaussage auf den Typus
der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV0 und später
noch § 39, Tafel XVII0 vorbereitend zu erleichtern.

Für manch’ ein Untersuchungsfeld ist ständig h = 0 und k = 0,
nämlich von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass A oder B
ein leeres Gebiet sei, „nichts“ bedeute, oder, wie wir auch sagen können
„sinnlos“ oder „undeutig“ werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den
Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null
nicht adjungirt ist, nicht angehört. Eine Exemplifikation bildet die
Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen,
welche für das ganze Zahlengebiet, „explizirt“ sind, niemals eines Wertes
entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch
der Arithmetik und Algebra 1 in Untersuchung gezogen habe. Da hier
h1 = i, k1 = i ist, so wird δ = d, γ = f, β = e, und da ohnehin
stets α = g, so geht die „Hauptgleichung“ nebst dem Tableau III0
über in:

X0.i = a + d + e + f + g,
a1 = d + e + f + g, b = d + e, c = d + f,
b1 = a + f + g, c1 = a + e + g,
d1 = a + e + f + g, e1 = a + [Formel 1] + g, f1 = a + [Formel 2] + g, g1 = a + [Formel 3] ,
wo nunmehr die Terme rechterhand sämtlich disjunkt sind.

Wir können dann sagen, dass von den vier Zeichen der „Wert-
gemeinschaft“:
⊆ , ⊆ , ⊆, = (entsprechend a1, b, c, d)
das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen
oder ausarten können, wie ich dies schon 1 p. 148 bemerkte.

Die Tafeln VI0 und VII0 kommen dann von selbst in Wegfall,
und verlohnt es, zusammenzustellen, zu was sich die Tafeln VIII0 und
IX0 alsdann vereinfachen:

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[128/0152] Achtzehnte Vorlesung. Wenn z = e1 f1 (c + e) (d1 + h) bedeutet, so wird man ebenso mittelst der Zwischenrechnung: z = {(h k + h1 k1 a) + α + δ} {(h + k) + β + γ + δ} {a + α + β + γ} = a (h + k) (h k + h1 k1 a) dies leicht reduziren zu: z = h k. Etc. In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei- tragen, die Aufgabe der Reduktion einer Kollektivaussage auf den Typus der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV0 und später noch § 39, Tafel XVII0 vorbereitend zu erleichtern. Für manch’ ein Untersuchungsfeld ist ständig h = 0 und k = 0, nämlich von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass A oder B ein leeres Gebiet sei, „nichts“ bedeute, oder, wie wir auch sagen können „sinnlos“ oder „undeutig“ werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null nicht adjungirt ist, nicht angehört. Eine Exemplifikation bildet die Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen, welche für das ganze Zahlengebiet, „explizirt“ sind, niemals eines Wertes entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra 1 in Untersuchung gezogen habe. Da hier h1 = i, k1 = i ist, so wird δ = d, γ = f, β = e, und da ohnehin stets α = g, so geht die „Hauptgleichung“ nebst dem Tableau III0 über in: X0.i = a + d + e + f + g, a1 = d + e + f + g, b = d + e, c = d + f, b1 = a + f + g, c1 = a + e + g, d1 = a + e + f + g, e1 = a + [FORMEL] + g, f1 = a + [FORMEL] + g, g1 = a + [FORMEL], wo nunmehr die Terme rechterhand sämtlich disjunkt sind. Wir können dann sagen, dass von den vier Zeichen der „Wert- gemeinschaft“:  ,  , , = (entsprechend a1, b, c, d) das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen oder ausarten können, wie ich dies schon 1 p. 148 bemerkte. Die Tafeln VI0 und VII0 kommen dann von selbst in Wegfall, und verlohnt es, zusammenzustellen, zu was sich die Tafeln VIII0 und IX0 alsdann vereinfachen:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 128. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/152>, abgerufen am 04.05.2024.