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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.
letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten
Term in jeden folgenden verschwinden.

Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander
gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die "Elementar-
fälle" zu bezeichnen haben.

Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass:
140) a1 g = g, sonach g a1, a g1, a g = 0, a g1 = a,
und hienach in Verbindung mit 100)'', 90)'' und 90)''' wird also:
150) i = a + d h1 k1 + e k1 + f h1 + g
die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum
Teil noch kürzere Namen ein, indem wir definiren:
[80] d h1 k1 = d, e k1 = b, f h1 = g, g = a,
sodass nunmehr
160) i = a + a + b + g + d
bleiben wird.

Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den
Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis-
herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien
sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28),
Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines
Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der
übrigen Terme, z. B. a1 = a + b + g + d, etc.

Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be-
stimmte Beziehung zwischen den Gebieten A und B statuirt. Die fünf
Beziehungen nennen wir eben die "Elementarbeziehungen", und haben
dieselben nunmehr auch analytisch definirt.

Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen,
so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und
dann nicht die übrigen.

Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher,
jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos d h1 oder d k1 in 150) und [80]
schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 40)' und 40) für e auch e h1
und für f auch f k1 schreiben, also e k1 durch e h1 k1 und f h1 durch f h1 k1 er-
setzen. Endlich war unter 80)'' a1 = a1 h1 k1 erwiesen, wonach Def. [70] auch
g = g h1 k1 liefert.

Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch
schreiben:

Schröder, Algebra der Logik. II. 8

§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.
letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten
Term in jeden folgenden verschwinden.

Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander
gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „Elementar-
fälle“ zu bezeichnen haben.

Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass:
140) a1 g = g, sonach g ⊆ a1, a ⊆ g1, a g = 0, a g1 = a,
und hienach in Verbindung mit 100)'', 90)'' und 90)''' wird also:
150) i = a + d h1 k1 + e k1 + f h1 + g
die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum
Teil noch kürzere Namen ein, indem wir definiren:
[80] d h1 k1 = δ, e k1 = β, f h1 = γ, g = α,
sodass nunmehr
160) i = a + α + β + γ + δ
bleiben wird.

Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den
Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis-
herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien
sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28),
Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines
Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der
übrigen Terme, z. B. a1 = α + β + γ + δ, etc.

Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be-
stimmte Beziehung zwischen den Gebieten A und B statuirt. Die fünf
Beziehungen nennen wir eben die „Elementarbeziehungen“, und haben
dieselben nunmehr auch analytisch definirt.

Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen,
so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und
dann nicht die übrigen.

Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher,
jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos d h1 oder d k1 in 150) und [80]
schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 40)' und 40) für e auch e h1
und für f auch f k1 schreiben, also e k1 durch e h1 k1 und f h1 durch f h1 k1 er-
setzen. Endlich war unter 80)'' a1 = a1 h1 k1 erwiesen, wonach Def. [70] auch
g = g h1 k1 liefert.

Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch
schreiben:

Schröder, Algebra der Logik. II. 8
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[113/0137] § 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen. letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten Term in jeden folgenden verschwinden. Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „Elementar- fälle“ zu bezeichnen haben. Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass: 140) a1 g = g, sonach g  a1, a  g1, a g = 0, a g1 = a, und hienach in Verbindung mit 100)'', 90)'' und 90)''' wird also: 150) i = a + d h1 k1 + e k1 + f h1 + g die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum Teil noch kürzere Namen ein, indem wir definiren: [80] d h1 k1 = δ, e k1 = β, f h1 = γ, g = α, sodass nunmehr 160) i = a + α + β + γ + δ bleiben wird. Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis- herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28), Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der übrigen Terme, z. B. a1 = α + β + γ + δ, etc. Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be- stimmte Beziehung zwischen den Gebieten A und B statuirt. Die fünf Beziehungen nennen wir eben die „Elementarbeziehungen“, und haben dieselben nunmehr auch analytisch definirt. Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen, so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und dann nicht die übrigen. Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100)'' auch einfacher, jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos d h1 oder d k1 in 150) und [80] schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 40)' und 40) für e auch e h1 und für f auch f k1 schreiben, also e k1 durch e h1 k1 und f h1 durch f h1 k1 er- setzen. Endlich war unter 80)'' a1 = a1 h1 k1 erwiesen, wonach Def. [70] auch g = g h1 k1 liefert. Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch schreiben: Schröder, Algebra der Logik. II. 8

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 113. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/137>, abgerufen am 28.04.2024.