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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Die Unterordnung folgte hier auch schon aus dem Nichtvorliegen
der Gleichheit in Anbetracht, dass A B + A C als , das ist = oder ,
A (B + C) in Th. 25x) bewiesen ist.

Von der erworbenen Bekanntschaft mit den Typen der Gruppe
G (a, b, c) und von der gegebenen Zusammenstellung ihrer Elemente
wollen wir schliesslich eine Nutzanwendung machen, um die Theorie
der Eliminationsresultanten sowie diejenige der symmetrisch allgemeinen
Lösungen um einen Schritt zu fördern.

Denken wir uns x, y und z irgendwie durch "Parameter" a, b, c,
d, ... ausgedrückt, mithin sie als Funktionen des Gebietekalkuls von
eben diesen Symbolen -- und nur von diesen -- gegeben, so kann
man nach der Relation f (x, y, z) = 0 fragen, die als Resultante der
Elimination sämtlicher Parameter aus den vorliegenden Gleichungen:
x = ph (a, b, c, d, ..), y = ps (a, b, c, d, ..), z = kh (a, b, c, d, ..)
folgen muss. Das Polynom f (x, y, z) dieser Resultante kann nur eines
der 256 Elemente der Gruppe G (x, y, z) sein, da es andere Symbole
als x, y und z selbst laut Voraussetzung nicht in sich aufweist, mithin
bei seiner "Entwickelung" nach seinen drei Argumenten x, y, z als
Koeffizienten nur die Symbole 0 und 1 zur Verfügung stehen können.

Sehr häufig -- wie wir bereits erfahren -- tritt insbesondre der
Fall ein, dass unser Polynom das Element 0 der Gruppe G (x, y, z) ist.
Die Resultante stellt sich alsdann in der Gestalt 0 = 0 dar und ist
eine nichtssagende. Wir dürfen alsdann sagen, dass bei unbestimmt
gelassenen Werten der Parameter a, b, c, d, .. auch die Gebiete x, y, z
von einander unabhängig beliebige bleiben, oder dass keine Relation, Be-
ziehung zwischen denselben bestehn muss oder folgt (S. 454).

Falls f (x, y, z) sich als das Element 1 der Gruppe G (x, y, z)
herausstellen sollte, wäre die Resultante (als da ist: die Gleichung 1 = 0)
eine absurde (Behauptung).

Dieser Fall kann aber nicht vorkommen, -- und die Erfahrung
wird es bestätigen -- auch lässt es sich strenge, wie folgt, beweisen.
Eine Resultante 1 = 0 wäre als ein Ergebniss der Elimination nicht
nur von a, b, c, ... sondern auch von x, y, z anzuerkennen. Als letzteres
müsste es auch in der vollen Resultante für x, y, z enthalten sein.
Eliminirt man aber regelrecht aus der vereinigten Prämissengleichung
x1 ph + x ph1 + y1 ps + y ps1 + z1 kh + z kh1 = 0

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Die Unterordnung folgte hier auch schon aus dem Nichtvorliegen
der Gleichheit in Anbetracht, dass A B + A C als ⋹, das ist = oder ⊂,
A (B + C) in Th. 25×) bewiesen ist.

Von der erworbenen Bekanntschaft mit den Typen der Gruppe
G (a, b, c) und von der gegebenen Zusammenstellung ihrer Elemente
wollen wir schliesslich eine Nutzanwendung machen, um die Theorie
der Eliminationsresultanten sowie diejenige der symmetrisch allgemeinen
Lösungen um einen Schritt zu fördern.

Denken wir uns x, y und z irgendwie durch „Parameter“ a, b, c,
d, … ausgedrückt, mithin sie als Funktionen des Gebietekalkuls von
eben diesen Symbolen — und nur von diesen — gegeben, so kann
man nach der Relation f (x, y, z) = 0 fragen, die als Resultante der
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x = φ (a, b, c, d, ‥), y = ψ (a, b, c, d, ‥), z = χ (a, b, c, d, ‥)
folgen muss. Das Polynom f (x, y, z) dieser Resultante kann nur eines
der 256 Elemente der Gruppe G (x, y, z) sein, da es andere Symbole
als x, y und z selbst laut Voraussetzung nicht in sich aufweist, mithin
bei seiner „Entwickelung“ nach seinen drei Argumenten x, y, z als
Koeffizienten nur die Symbole 0 und 1 zur Verfügung stehen können.

Sehr häufig — wie wir bereits erfahren — tritt insbesondre der
Fall ein, dass unser Polynom das Element 0 der Gruppe G (x, y, z) ist.
Die Resultante stellt sich alsdann in der Gestalt 0 = 0 dar und ist
eine nichtssagende. Wir dürfen alsdann sagen, dass bei unbestimmt
gelassenen Werten der Parameter a, b, c, d, ‥ auch die Gebiete x, y, z
von einander unabhängig beliebige bleiben, oder dass keine Relation, Be-
ziehung zwischen denselben bestehn muss oder folgt (S. 454).

Falls f (x, y, z) sich als das Element 1 der Gruppe G (x, y, z)
herausstellen sollte, wäre die Resultante (als da ist: die Gleichung 1 = 0)
eine absurde (Behauptung).

Dieser Fall kann aber nicht vorkommen, — und die Erfahrung
wird es bestätigen — auch lässt es sich strenge, wie folgt, beweisen.
Eine Resultante 1 = 0 wäre als ein Ergebniss der Elimination nicht
nur von a, b, c, … sondern auch von x, y, z anzuerkennen. Als letzteres
müsste es auch in der vollen Resultante für x, y, z enthalten sein.
Eliminirt man aber regelrecht aus der vereinigten Prämissengleichung
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[687/0707] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Die Unterordnung folgte hier auch schon aus dem Nichtvorliegen der Gleichheit in Anbetracht, dass A B + A C als ⋹, das ist = oder ⊂, A (B + C) in Th. 25×) bewiesen ist. Von der erworbenen Bekanntschaft mit den Typen der Gruppe G (a, b, c) und von der gegebenen Zusammenstellung ihrer Elemente wollen wir schliesslich eine Nutzanwendung machen, um die Theorie der Eliminationsresultanten sowie diejenige der symmetrisch allgemeinen Lösungen um einen Schritt zu fördern. Denken wir uns x, y und z irgendwie durch „Parameter“ a, b, c, d, … ausgedrückt, mithin sie als Funktionen des Gebietekalkuls von eben diesen Symbolen — und nur von diesen — gegeben, so kann man nach der Relation f (x, y, z) = 0 fragen, die als Resultante der Elimination sämtlicher Parameter aus den vorliegenden Gleichungen: x = φ (a, b, c, d, ‥), y = ψ (a, b, c, d, ‥), z = χ (a, b, c, d, ‥) folgen muss. Das Polynom f (x, y, z) dieser Resultante kann nur eines der 256 Elemente der Gruppe G (x, y, z) sein, da es andere Symbole als x, y und z selbst laut Voraussetzung nicht in sich aufweist, mithin bei seiner „Entwickelung“ nach seinen drei Argumenten x, y, z als Koeffizienten nur die Symbole 0 und 1 zur Verfügung stehen können. Sehr häufig — wie wir bereits erfahren — tritt insbesondre der Fall ein, dass unser Polynom das Element 0 der Gruppe G (x, y, z) ist. Die Resultante stellt sich alsdann in der Gestalt 0 = 0 dar und ist eine nichtssagende. Wir dürfen alsdann sagen, dass bei unbestimmt gelassenen Werten der Parameter a, b, c, d, ‥ auch die Gebiete x, y, z von einander unabhängig beliebige bleiben, oder dass keine Relation, Be- ziehung zwischen denselben bestehn muss oder folgt (S. 454). Falls f (x, y, z) sich als das Element 1 der Gruppe G (x, y, z) herausstellen sollte, wäre die Resultante (als da ist: die Gleichung 1 = 0) eine absurde (Behauptung). Dieser Fall kann aber nicht vorkommen, — und die Erfahrung wird es bestätigen — auch lässt es sich strenge, wie folgt, beweisen. Eine Resultante 1 = 0 wäre als ein Ergebniss der Elimination nicht nur von a, b, c, … sondern auch von x, y, z anzuerkennen. Als letzteres müsste es auch in der vollen Resultante für x, y, z enthalten sein. Eliminirt man aber regelrecht aus der vereinigten Prämissengleichung x1 φ + x φ1 + y1 ψ + y ψ1 + z1 χ + z χ1 = 0

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 687. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/707>, abgerufen am 16.02.2025.