-- desgleichen in den drei letzten Vertauschungen die Cyklen sämtlich rück- wärts gelesen, beziehungsweise die beiden letzten Elemente in denselben durchweg vertauscht.
Da es nun bequemer ist, sich von der geometrischen Anschauung des Würfels leiten zu lassen, als derartige Zeichenvertauschungen vor- zunehmen, so wollen wir die uns obliegende kombinatorische Unter- suchung jetzt am geometrischen Bilde ausführen.
Wir haben entweder keine Aushebung: dies gibt den ersten Typus welcher der nichtssagenden Aussage entspricht und das Element 0 der Gruppe G (a, b, c) liefert.
Oder wir haben eine Aushebung, indem wir als Element der Gruppe irgend ein Glied, einen Konstituenten jener achtgliedrigen Summe, oder also eine Ecke des Würfels nehmen -- einer von Jevons und Clifford so genannten "einfaltigen" Aussage ("one-fold statement") entsprechend. Dies gibt den zweiten Typus mit den 8 Repräsentanten oder Formen (als Elementen der Gruppe): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Oder wir haben zwei Aushebungen, indem wir zwei Ecken des Würfels nehmen, entsprechend zweien Konstituenten, welche additiv vereinigt zu denken sind zu einem Ausdrucke, als einem Elemente der Gruppe, oder als dem Polynom einer (rechts auf 0 gebrachten) Aussage, die als eine "zwiefältige" oder "zweifache" (twofold statement) bezeichnet werden dürfte.
Zwei Ecken des Würfels lassen nun aber auf dreierlei Weisen sich auswählen.
Beginnen wir jedesmal mit der Ecke 1, so kann die zweite Ecke ent- weder eine ihr benachbarte (anliegende) Ecke sein, d. h. eine von den dreien 2, 3, 5 und dann gleichviel welche, oder eine abliegende, d. h. 4, 6 oder 7, oder die gegenüberliegende, somit 8. Dies gibt für die drei fol- genden Typen, bei denen die verbundenen (kombinirten) Ecken entweder Endpunkte einer Kante, oder Gegenecken einer Seitenfläche des Würfels oder endlich Gegenecken des Würfels selbst sind:
Dritter Typus mit den 12 Repräsentanten (wenn wir Raumersparniss halber die Pluszeichen jeweils unterdrücken, welche die Ziffern einer jeden Kombination eigentlich verbinden sollten): 12, 34, 56, 78, 13, 24, 57, 68, 15, 26, 37, 48.
Anhang 6.
(a, a1) (b, c1) (1, 8) (2, 6) (3, 7) (4, 5);
(b, b1) (a, c1) (1, 8) (2, 4) (3, 6) (5, 7);
(b1, c)
(a1, c)
(c, c1) (a, b1) (1, 8) (2, 7) (3, 4) (5, 6);
(a1, b)
(a, b, c1) (1, 6, 4) (3, 5, 8);
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(a, b1, c1) (1, 7, 6) (2, 3, 8);
(a1, b1, c)
(a1, b, c1)
(a1, b, c)
— desgleichen in den drei letzten Vertauschungen die Cyklen sämtlich rück- wärts gelesen, beziehungsweise die beiden letzten Elemente in denselben durchweg vertauscht.
Da es nun bequemer ist, sich von der geometrischen Anschauung des Würfels leiten zu lassen, als derartige Zeichenvertauschungen vor- zunehmen, so wollen wir die uns obliegende kombinatorische Unter- suchung jetzt am geometrischen Bilde ausführen.
Wir haben entweder keine Aushebung: dies gibt den ersten Typus welcher der nichtssagenden Aussage entspricht und das Element 0 der Gruppe G (a, b, c) liefert.
Oder wir haben eine Aushebung, indem wir als Element der Gruppe irgend ein Glied, einen Konstituenten jener achtgliedrigen Summe, oder also eine Ecke des Würfels nehmen — einer von Jevons und Clifford so genannten „einfaltigen“ Aussage („one-fold statement“) entsprechend. Dies gibt den zweiten Typus mit den 8 Repräsentanten oder Formen (als Elementen der Gruppe): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Oder wir haben zwei Aushebungen, indem wir zwei Ecken des Würfels nehmen, entsprechend zweien Konstituenten, welche additiv vereinigt zu denken sind zu einem Ausdrucke, als einem Elemente der Gruppe, oder als dem Polynom einer (rechts auf 0 gebrachten) Aussage, die als eine „zwiefältige“ oder „zweifache“ (twofold statement) bezeichnet werden dürfte.
Zwei Ecken des Würfels lassen nun aber auf dreierlei Weisen sich auswählen.
Beginnen wir jedesmal mit der Ecke 1, so kann die zweite Ecke ent- weder eine ihr benachbarte (anliegende) Ecke sein, d. h. eine von den dreien 2, 3, 5 und dann gleichviel welche, oder eine abliegende, d. h. 4, 6 oder 7, oder die gegenüberliegende, somit 8. Dies gibt für die drei fol- genden Typen, bei denen die verbundenen (kombinirten) Ecken entweder Endpunkte einer Kante, oder Gegenecken einer Seitenfläche des Würfels oder endlich Gegenecken des Würfels selbst sind:
Dritter Typus mit den 12 Repräsentanten (wenn wir Raumersparniss halber die Pluszeichen jeweils unterdrücken, welche die Ziffern einer jeden Kombination eigentlich verbinden sollten): 12, 34, 56, 78, 13, 24, 57, 68, 15, 26, 37, 48.
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Anhang 6.
(a, a1) (b, c1) (1, 8) (2, 6) (3, 7) (4, 5); (b, b1) (a, c1) (1, 8) (2, 4) (3, 6) (5, 7);
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(c, c1) (a, b1) (1, 8) (2, 7) (3, 4) (5, 6);
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(a1, b1, c) (a1, b, c1) (a1, b, c)
— desgleichen in den drei letzten Vertauschungen die Cyklen sämtlich rück-
wärts gelesen, beziehungsweise die beiden letzten Elemente in denselben
durchweg vertauscht.
Da es nun bequemer ist, sich von der geometrischen Anschauung
des Würfels leiten zu lassen, als derartige Zeichenvertauschungen vor-
zunehmen, so wollen wir die uns obliegende kombinatorische Unter-
suchung jetzt am geometrischen Bilde ausführen.
Wir haben entweder keine Aushebung: dies gibt den ersten Typus
welcher der nichtssagenden Aussage entspricht und das Element 0 der
Gruppe G (a, b, c) liefert.
Oder wir haben eine Aushebung, indem wir als Element der Gruppe
irgend ein Glied, einen Konstituenten jener achtgliedrigen Summe, oder
also eine Ecke des Würfels nehmen — einer von Jevons und Clifford
so genannten „einfaltigen“ Aussage („one-fold statement“) entsprechend.
Dies gibt den zweiten Typus mit den 8 Repräsentanten oder Formen (als
Elementen der Gruppe):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Oder wir haben zwei Aushebungen, indem wir zwei Ecken des Würfels
nehmen, entsprechend zweien Konstituenten, welche additiv vereinigt zu
denken sind zu einem Ausdrucke, als einem Elemente der Gruppe, oder
als dem Polynom einer (rechts auf 0 gebrachten) Aussage, die als eine
„zwiefältige“ oder „zweifache“ (twofold statement) bezeichnet werden dürfte.
Zwei Ecken des Würfels lassen nun aber auf dreierlei Weisen sich
auswählen.
Beginnen wir jedesmal mit der Ecke 1, so kann die zweite Ecke ent-
weder eine ihr benachbarte (anliegende) Ecke sein, d. h. eine von den
dreien 2, 3, 5 und dann gleichviel welche, oder eine abliegende, d. h. 4, 6
oder 7, oder die gegenüberliegende, somit 8. Dies gibt für die drei fol-
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Dritter Typus mit den 12 Repräsentanten (wenn wir Raumersparniss
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12, 34, 56, 78, 13, 24, 57, 68, 15, 26, 37, 48.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 666. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/686>, abgerufen am 12.06.2024.
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