Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Logischer Kalkul mit Gruppen.

des vorliegenden Untersuchungsfeldes in sich schliessen wird — und,
als blosses Elementarsystem aufgefasst, etwa „die zugrundeliegende
Mannigfaltigkeit“ zu nennen wäre — mag „die vollständige Gruppe“
(schlechtweg) genannt werden. Sie entspricht der „identischen Eins“,
1, des Aussagen- und Gebietekalkuls und würde nicht unpassend auch
als „die Gruppe 1“ hingestellt werden.

Dieselbe ist jedoch — bei den Substitutionen z. B. — nicht mit der
„identischen Substitution“ 1 zu verwechseln, welche letztere vielmehr, wie
nachher erhellt, eine „Nullgruppe“, „die Gruppe 0“ konstituiren wird.

Als „Produkt“ A · B oder A B zweier Gruppen A und B gilt uns
das System der Elemente, welche sowol der Gruppe A als auch der
B angehören — m. a. W. das „identische Produkt“ der zugehörigen
Elementesysteme, die „Gemeinheit“ dieser Systeme in Herrn Dede-
kind's¹ Ausdrucksweise. Dasselbe muss, sofern es kein leeres (oder
„Nullsystem“) ist, allemal selbst eine Gruppe sein.

Denn wäre dies nicht der Fall, so müsste durch den Prozess der
Gruppenbildung aus seinen Elementen ein neues ableitbar sein, welches
ihm selbst, dem Systeme A B, nicht angehört, und darum auch nicht dem
System A und dem B zugleich angehören kann, vielmehr wenigstens einem
dieser beiden — sagen wir dem System A — nicht angehören wird. Da
laut Definition die Elemente von A B aber sämtlich auch Elemente von A
(sowie von B) sind, so wäre es hienach auch gelungen, aus den Elementen
des Systems A ein neues, diesem nicht angehöriges Element abzuleiten —
im Widerspruch mit der Voraussetzung, dass A eine Gruppe gewesen.

„Nullgruppe“ oder „Gruppe 0“ nennen wir das Produkt aller er-
denklichen Gruppen, welche in der vollständigen Gruppe (als Unter-
gruppen) enthalten sind (diese selbst also einbegriffen).

Wo etwa auch ein mit 0 bezeichnetes Element auftritt, ist diese
„Gruppe 0“ von dem „Elemente 0“ natürlich zu unterscheiden.

Die Nullgruppe wird eine eigentliche Gruppe sein auf jedem
solchen Untersuchungsfelde, wo gewisse Elemente in jeder Gruppe
enthalten, allen Gruppen gemeinsam sein müssen.

So z. B. wird im Gebiet der Substitutionsgruppen die Nullgruppe be-
stehen aus der einen identischen Substitution 1; in der Gruppentheorie
des identischen Kalkuls — vergl. Anhang 6 — wird die Nullgruppe aus
den beiden Elementen 0 und 1 bestehen, und auch auf dem Gebiet der
Gruppen von Funktionalgleichungen oder Algorithmen können der Null-
gruppe als Inhalt oder ihre Bedeutung eventuell untergelegt werden: die
„sechs Fundamentalbeziehungen“ nebst all den Formeln, welche etwa
noch auf Grund derselben allgemein, als analytische Gleichungen, gelten.

Andernfalles wird die Nullgruppe als eine uneigentliche, nämlich
inhaltlose oder leere, zu gelten haben.

Summe A + B zweier Gruppen A und B nennen wir diejenige