selben verharren, und fahre so fort, bis jeder Faktor die ihm zu- gewiesene Stelle eingenommen hat. Dies muss endlich eintreten weil mit jedem neu vorgenommenen Faktor, die Zahl der noch nicht an ihre Stellen gebrachten immer um 1 abnimmt, und weil die neu, die an den folgenden Stellen, hinzutretenden Erfolge die früher errungenen nicht wieder umstossen.
Soll beispielsweise aus der Anordnung a5a2a4a1a3 die Reihenfolge a1a2a3a4a5 hergestellt werden, so wird der Reihe nach zu bilden sein: a5a2a1a4a3 a5a1a2a4a3 a1a5a2a4a3 a1a2a5a4a3 a1a2a5a3a4 a1a2a3a5a4 a1a2a3a4a5
Hienach ist erkannt, dass eine (multiplikative) Verknüpfung, welche assoziativ ist gemäss Th. 13x) und ausserdem dem speziellen Kommu- tationsgesetze 12x) unterworfen, welche somit "bei zwei Faktoren kommu- tativ" ist, dies auch bei beliebig viel Faktoren sein muss, d. h. es gilt für sie der
Satz 13)e("Allgemeines Kommutationsgesetz"). Auch bei einem Produkte von beliebig vielen Faktoren ist deren Reihenfolge gleichgültig.
Legt man von vornherein die Voraussetzungen 12x) und 13x) in ihrer Verbindung mit einander zugrunde, so kann man zu den allgemeinen Er- gebnissen 13)b und 13)e auch noch auf andre Weisen gelangen, über welche am vollständigsten wol mein Lehrbuch 1 Aufschluss gibt.
Hiermit nun sind wir zu dem Abschlusse gelangt, den wir er- strebten.
Ich gestatte mir nur noch eine Bemerkung darüber, was von der ganzen mathematisch so musterhaft strengen Betrachtung in Bezug auf ihre Stellung zur Logik zu halten.
Es wurde hier als ein -- sollte man meinen -- der Logik (im engsten Sinne) eigentlich fremdes Element, die Zahl, mit in den Kreis der Untersuchungen hereingezogen -- allerdings nur die natürliche Zahl oder Anzahl, jedoch -- in Gestalt von r und n -- auch die all- gemeine oder Buchstabenzahl. Dies geschah teils nebensächlich, teils wesentlich. Ersteres insofern wir die Zahlen als Suffixe des Buch- stabens a verwendeten: es boten eben a1, a2, .. an sich als zweck-
Anhang 3.
selben verharren, und fahre so fort, bis jeder Faktor die ihm zu- gewiesene Stelle eingenommen hat. Dies muss endlich eintreten weil mit jedem neu vorgenommenen Faktor, die Zahl der noch nicht an ihre Stellen gebrachten immer um 1 abnimmt, und weil die neu, die an den folgenden Stellen, hinzutretenden Erfolge die früher errungenen nicht wieder umstossen.
Soll beispielsweise aus der Anordnung a5a2a4a1a3 die Reihenfolge a1a2a3a4a5 hergestellt werden, so wird der Reihe nach zu bilden sein: a5a2a1a4a3 a5a1a2a4a3 a1a5a2a4a3 a1a2a5a4a3 a1a2a5a3a4 a1a2a3a5a4 a1a2a3a4a5
Hienach ist erkannt, dass eine (multiplikative) Verknüpfung, welche assoziativ ist gemäss Th. 13×) und ausserdem dem speziellen Kommu- tationsgesetze 12×) unterworfen, welche somit „bei zwei Faktoren kommu- tativ“ ist, dies auch bei beliebig viel Faktoren sein muss, d. h. es gilt für sie der
Satz 13)e(„Allgemeines Kommutationsgesetz“). Auch bei einem Produkte von beliebig vielen Faktoren ist deren Reihenfolge gleichgültig.
Legt man von vornherein die Voraussetzungen 12×) und 13×) in ihrer Verbindung mit einander zugrunde, so kann man zu den allgemeinen Er- gebnissen 13)b und 13)e auch noch auf andre Weisen gelangen, über welche am vollständigsten wol mein Lehrbuch 1 Aufschluss gibt.
Hiermit nun sind wir zu dem Abschlusse gelangt, den wir er- strebten.
Ich gestatte mir nur noch eine Bemerkung darüber, was von der ganzen mathematisch so musterhaft strengen Betrachtung in Bezug auf ihre Stellung zur Logik zu halten.
Es wurde hier als ein — sollte man meinen — der Logik (im engsten Sinne) eigentlich fremdes Element, die Zahl, mit in den Kreis der Untersuchungen hereingezogen — allerdings nur die natürliche Zahl oder Anzahl, jedoch — in Gestalt von r und n — auch die all- gemeine oder Buchstabenzahl. Dies geschah teils nebensächlich, teils wesentlich. Ersteres insofern wir die Zahlen als Suffixe des Buch- stabens a verwendeten: es boten eben a1, a2, ‥ an sich als zweck-
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Anhang 3.
selben verharren, und fahre so fort, bis jeder Faktor die ihm zu-
gewiesene Stelle eingenommen hat. Dies muss endlich eintreten weil
mit jedem neu vorgenommenen Faktor, die Zahl der noch nicht an
ihre Stellen gebrachten immer um 1 abnimmt, und weil die neu, die
an den folgenden Stellen, hinzutretenden Erfolge die früher errungenen
nicht wieder umstossen.
Soll beispielsweise aus der Anordnung a5 a2 a4 a1 a3 die Reihenfolge
a1 a2 a3 a4 a5 hergestellt werden, so wird der Reihe nach zu bilden sein:
a5 a2 a1 a4 a3
a5 a1 a2 a4 a3
a1 a5 a2 a4 a3
a1 a2 a5 a4 a3
a1 a2 a5 a3 a4
a1 a2 a3 a5 a4
a1 a2 a3 a4 a5
Hienach ist erkannt, dass eine (multiplikative) Verknüpfung, welche
assoziativ ist gemäss Th. 13×) und ausserdem dem speziellen Kommu-
tationsgesetze 12×) unterworfen, welche somit „bei zwei Faktoren kommu-
tativ“ ist, dies auch bei beliebig viel Faktoren sein muss, d. h. es gilt
für sie der
Satz 13)e („Allgemeines Kommutationsgesetz“). Auch bei einem
Produkte von beliebig vielen Faktoren ist deren Reihenfolge gleichgültig.
Legt man von vornherein die Voraussetzungen 12×) und 13×) in ihrer
Verbindung mit einander zugrunde, so kann man zu den allgemeinen Er-
gebnissen 13)b und 13)e auch noch auf andre Weisen gelangen, über
welche am vollständigsten wol mein Lehrbuch 1 Aufschluss gibt.
Hiermit nun sind wir zu dem Abschlusse gelangt, den wir er-
strebten.
Ich gestatte mir nur noch eine Bemerkung darüber, was von der
ganzen mathematisch so musterhaft strengen Betrachtung in Bezug
auf ihre Stellung zur Logik zu halten.
Es wurde hier als ein — sollte man meinen — der Logik (im
engsten Sinne) eigentlich fremdes Element, die Zahl, mit in den Kreis
der Untersuchungen hereingezogen — allerdings nur die natürliche
Zahl oder Anzahl, jedoch — in Gestalt von r und n — auch die all-
gemeine oder Buchstabenzahl. Dies geschah teils nebensächlich, teils
wesentlich. Ersteres insofern wir die Zahlen als Suffixe des Buch-
stabens a verwendeten: es boten eben a1, a2, ‥ an sich als zweck-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 614. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/634>, abgerufen am 18.02.2025.
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