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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
ph (0) ph (1) ps1 (0) ps1 (1) = 0 resp. 1 = ph1 (1) + ph1 (0) + ps (1) + ps (0)
-- oder auch für = geschrieben.

Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu
derselben Resultante zu kommen, zu welcher Boole gelangen würde, indem
er die Gleichung ph (x) ps1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro-
dukt der Koeffizienten = 0 setzte.

Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub-
sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara
(oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese
Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende
Weise ergeben in den Formen:
ph (0) ps1 (0) ph1 (1) + ps (1), ph (1) ps1 (1) ph1 (0) + ps (0).

Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für
McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor -- wofür meines
Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen
würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale
die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. --

Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen
operirt, erhellt aus folgendem.

Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen,
wie oben gezeigt in zweie von der Form a x, b x1 aufgelöst,
zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen:
a1 x, a2 x, ..., an x,
b1 x1, b2 x1, ... bn x1,
und lassen diese n Paare nach Def. (3+) sich zusammenziehen in:
a1 + a2 + ... an x,
b1 + b2 + ... bn x1,
welche beiden Subsumtionen zusammen dessen "Auflösung" nach x
vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt:
(a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... bn) 0
die Resultante der Elimination des x sein wird.

Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante -- nämlich der
a b = 0 für die Prämissen a x, b x1 -- wäre nach unsern Betrach-
tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits
erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben.

Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro-
bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe
des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung.
Irgendwelche Vorteile in Hinsicht der Druckersparniss, Vermehrung

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
φ (0) φ (1) ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 resp. 1 = φ1 (1) + φ1 (0) + ψ (1) + ψ (0)
— oder auch ⋹ für = geschrieben.

Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu
derselben Resultante zu kommen, zu welcher Boole gelangen würde, indem
er die Gleichung φ (x) ψ1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro-
dukt der Koeffizienten = 0 setzte.

Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub-
sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara
(oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese
Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende
Weise ergeben in den Formen:
φ (0) ψ1 (0) ⋹ φ1 (1) + ψ (1), φ (1) ψ1 (1) ⋹ φ1 (0) + ψ (0).

Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für
McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor — wofür meines
Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen
würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale
die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. —

Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen
operirt, erhellt aus folgendem.

Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen,
wie oben gezeigt in zweie von der Form α ⋹ x, β ⋹ x1 aufgelöst,
zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen:
α1 ⋹ x, α2 ⋹ x, …, αn ⋹ x,
β1 ⋹ x1, β2 ⋹ x1, … βn ⋹ x1,
und lassen diese n Paare nach Def. (3+) sich zusammenziehen in:
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β1 + β2 + … βn ⋹ x1,
welche beiden Subsumtionen zusammen dessen „Auflösung“ nach x
vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt:
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die Resultante der Elimination des x sein wird.

Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante — nämlich der
α β = 0 für die Prämissen α ⋹ x, β ⋹ x1 — wäre nach unsern Betrach-
tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits
erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben.

Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro-
bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe
des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung.
Irgendwelche Vorteile in Hinsicht der Druckersparniss, Vermehrung

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[591/0611] § 27. Methoden von McColl und Peirce. φ (0) φ (1) ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 resp. 1 = φ1 (1) + φ1 (0) + ψ (1) + ψ (0) — oder auch ⋹ für = geschrieben. Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu derselben Resultante zu kommen, zu welcher Boole gelangen würde, indem er die Gleichung φ (x) ψ1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro- dukt der Koeffizienten = 0 setzte. Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub- sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara (oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende Weise ergeben in den Formen: φ (0) ψ1 (0) ⋹ φ1 (1) + ψ (1), φ (1) ψ1 (1) ⋹ φ1 (0) + ψ (0). Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor — wofür meines Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. — Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen operirt, erhellt aus folgendem. Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen, wie oben gezeigt in zweie von der Form α ⋹ x, β ⋹ x1 aufgelöst, zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen: α1 ⋹ x, α2 ⋹ x, …, αn ⋹ x, β1 ⋹ x1, β2 ⋹ x1, … βn ⋹ x1, und lassen diese n Paare nach Def. (3+) sich zusammenziehen in: α1 + α2 + … αn ⋹ x, β1 + β2 + … βn ⋹ x1, welche beiden Subsumtionen zusammen dessen „Auflösung“ nach x vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt: (α1 + α2 + … + αn) (β1 + β2 + … βn) ⋹ 0 die Resultante der Elimination des x sein wird. Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante — nämlich der α β = 0 für die Prämissen α ⋹ x, β ⋹ x1 — wäre nach unsern Betrach- tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben. Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro- bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung. Irgendwelche Vorteile in Hinsicht der Druckersparniss, Vermehrung

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 591. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/611>, abgerufen am 27.11.2024.