Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Aufgabe 1. Es soll die Gleichung
x y = 0
„symmetrisch allgemein“ nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.

Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen:
x = α β₁ ω₁ + α₁ β ω, y = α₁ β ω₁ + α β₁ ω,
worin, wie vorbemerkt, α, β und ω ganz beliebige Gebiete bedeuten.

Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung
x y z = 0
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung:
x = α (β₁ + γ₁) ω₁ + α₁ (β + γ) ω,
y = β (γ₁ + α₁) ω₁ + β₁ (γ + α) ω,
z = γ (α₁ + β₁) ω₁ + γ₁ (α + β) ω.

Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:
x y z w = 0.

Auflösung:
x = α (β₁ + γ₁ + δ₁) ω₁ + α₁ (β + γ + δ) ω,
y = β (α₁ + γ₁ + δ₁) ω₁ + β₁ (α + γ + δ) ω,
z = γ (α₁ + β₁ + δ₁) ω₁ + γ₁ (α + β + δ) ω,
w = δ (α₁ + β₁ + γ₁) ω₁ + δ₁ (α + β + γ) ω.
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.

Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will-
kürlichen Gebieten ω, α, β, γ, δ, … für die angegebenen Wurzelwerte
die Probe der Auflösung — wie dies leicht nachzurechnen ist.

Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige.

Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf-
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).

Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen
Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man
immer unsre Parameter ω, α, β, γ, δ so bestimmen, dass unsre Aus-
drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:
ω = 0 und α = x, β = y, γ = z, δ = w
selbst zu denken.

32*