daher von den Heiden b exakt auch nicht die Grönländer c subtrahirend ausnehmen kann, sondern nur die grönländischen Heiden b c. Es würde darnach der Ausdruck b -- c schon jeglichen Sinnes baar sein, und wäre es nur zulässig die Klasse b -- b c = b (1 -- c) = b c1 zu bilden.
Um uns auch über die sonstigen Gesetze der logischen Subtrak- tion möglichst rasch zu orientiren, will ich zunächst in übersichtlicher Formelzusammenstellung die fundamentalen Sätze der arithmetischen Subtraktion zur Vergleichung hersetzen.
Soweit dieselben auf nicht mehr als drei allgemeine Zahlen Bezug haben, können letztere -- vergl. meine Schriften 1 und 2 -- in folgende vier Gruppen gebracht werden:
v1) (a -- b) + b = (a + b) -- b = b -- (b -- a) = a,
v2)
(a + b) -- c = a + (b -- c) = a -- (c -- b) =
= (a -- c) + b = b -- (c -- a),
v3)
a -- (b + c) = (a -- b) -- c =
= (a -- c) -- b,
v4)
a -- b = (a + c) -- (b + c) = (a -- c) -- (b -- c) =
= (c -- b) -- (c -- a) = (a -- c) + (c -- b),
a + b = (a + c) + (b -- c) = (a + c) -- (c -- b) =
= (a -- c) + (b + c) = (b + c) -- (c -- a).
Nach dem Schema k) können wir nun für jeden der hier verglichenen Ausdrücke den Wert angeben, der demselben im identischen Kalkul beizu- legen ist. Desgleichen vermögen wir nach dem Schema d) auch seine Valenzbedingung anzusetzen, oder, wo mehrere Minuszeichen in dem Aus- druck vorkommen, seine sämtlichen Valenzbedingungen, welche wir dann zu einer einzigen Gleichung vereinigen mögen. Mit Rücksicht auf diese seine Valenzbedingung (schlechtweg) können wir endlich jeden Ausdruck nötigenfalls entwickeln nach den Symbolen, a, b, (c), aus welchen er auf- gebaut ist.
Sonach ist es dann weiter keine Kunst, zuzusehen, ob (und unter welchen Bedingungen) die in der Arithmetik gleichwertigen Ausdrücke auch im identischen Kalkul übereinstimmen und um welche Terme sie sich andernfalles unterscheiden.
Es stellt sich heraus, dass von den in der Arithmetik geltenden Gleichungen so ziemlich die Hälfte auch im identischen Kalkul Geltung besitzt unter der Voraussetzung, dass die Ausdrücke beiderseits gleichzeitig einen Sinn besitzen, d. h. unter den aus dem Anglick der beiden Seiten selbst ersichtlichen Valenzbedingungen.
Unter Zugrundelegung derselben Annahme (der "vereinigten" Valenz- bedingung der Gleichung) bedarf die andere Hälfte der Gleichungen, um im identischen Kalkul gültig zu werden der Hinzufügung eines Korrektions- gliedes auf der einen Seite derselben -- eines additiven oder subtraktiven Gliedes, welches eines allgemeinen Ausdrucks selber fähig ist.
Zwölfte Vorlesung.
daher von den Heiden b exakt auch nicht die Grönländer c subtrahirend ausnehmen kann, sondern nur die grönländischen Heiden b c. Es würde darnach der Ausdruck b — c schon jeglichen Sinnes baar sein, und wäre es nur zulässig die Klasse b — b c = b (1 — c) = b c1 zu bilden.
Um uns auch über die sonstigen Gesetze der logischen Subtrak- tion möglichst rasch zu orientiren, will ich zunächst in übersichtlicher Formelzusammenstellung die fundamentalen Sätze der arithmetischen Subtraktion zur Vergleichung hersetzen.
Soweit dieselben auf nicht mehr als drei allgemeine Zahlen Bezug haben, können letztere — vergl. meine Schriften 1 und 2 — in folgende vier Gruppen gebracht werden:
v1) (a — b) + b = (a + b) — b = b — (b — a) = a,
v2)
(a + b) — c = a + (b — c) = a — (c — b) =
= (a — c) + b = b — (c — a),
v3)
a — (b + c) = (a — b) — c =
= (a — c) — b,
v4)
a — b = (a + c) — (b + c) = (a — c) — (b — c) =
= (c — b) — (c — a) = (a — c) + (c — b),
a + b = (a + c) + (b — c) = (a + c) — (c — b) =
= (a — c) + (b + c) = (b + c) — (c — a).
Nach dem Schema ϰ) können wir nun für jeden der hier verglichenen Ausdrücke den Wert angeben, der demselben im identischen Kalkul beizu- legen ist. Desgleichen vermögen wir nach dem Schema δ) auch seine Valenzbedingung anzusetzen, oder, wo mehrere Minuszeichen in dem Aus- druck vorkommen, seine sämtlichen Valenzbedingungen, welche wir dann zu einer einzigen Gleichung vereinigen mögen. Mit Rücksicht auf diese seine Valenzbedingung (schlechtweg) können wir endlich jeden Ausdruck nötigenfalls entwickeln nach den Symbolen, a, b, (c), aus welchen er auf- gebaut ist.
Sonach ist es dann weiter keine Kunst, zuzusehen, ob (und unter welchen Bedingungen) die in der Arithmetik gleichwertigen Ausdrücke auch im identischen Kalkul übereinstimmen und um welche Terme sie sich andernfalles unterscheiden.
Es stellt sich heraus, dass von den in der Arithmetik geltenden Gleichungen so ziemlich die Hälfte auch im identischen Kalkul Geltung besitzt unter der Voraussetzung, dass die Ausdrücke beiderseits gleichzeitig einen Sinn besitzen, d. h. unter den aus dem Anglick der beiden Seiten selbst ersichtlichen Valenzbedingungen.
Unter Zugrundelegung derselben Annahme (der „vereinigten“ Valenz- bedingung der Gleichung) bedarf die andere Hälfte der Gleichungen, um im identischen Kalkul gültig zu werden der Hinzufügung eines Korrektions- gliedes auf der einen Seite derselben — eines additiven oder subtraktiven Gliedes, welches eines allgemeinen Ausdrucks selber fähig ist.
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[492/0512]
Zwölfte Vorlesung.
daher von den Heiden b exakt auch nicht die Grönländer c subtrahirend
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darnach der Ausdruck b — c schon jeglichen Sinnes baar sein, und wäre
es nur zulässig die Klasse b — b c = b (1 — c) = b c1 zu bilden.
Um uns auch über die sonstigen Gesetze der logischen Subtrak-
tion möglichst rasch zu orientiren, will ich zunächst in übersichtlicher
Formelzusammenstellung die fundamentalen Sätze der arithmetischen
Subtraktion zur Vergleichung hersetzen.
Soweit dieselben auf nicht mehr als drei allgemeine Zahlen Bezug
haben, können letztere — vergl. meine Schriften 1 und 2 — in folgende
vier Gruppen gebracht werden:
v1) (a — b) + b = (a + b) — b = b — (b — a) = a,
v2) (a + b) — c = a + (b — c) = a — (c — b) =
= (a — c) + b = b — (c — a),
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= (a — c) — b,
v4)a — b = (a + c) — (b + c) = (a — c) — (b — c) =
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a + b = (a + c) + (b — c) = (a + c) — (c — b) =
= (a — c) + (b + c) = (b + c) — (c — a).
Nach dem Schema ϰ) können wir nun für jeden der hier verglichenen
Ausdrücke den Wert angeben, der demselben im identischen Kalkul beizu-
legen ist. Desgleichen vermögen wir nach dem Schema δ) auch seine
Valenzbedingung anzusetzen, oder, wo mehrere Minuszeichen in dem Aus-
druck vorkommen, seine sämtlichen Valenzbedingungen, welche wir dann
zu einer einzigen Gleichung vereinigen mögen. Mit Rücksicht auf diese
seine Valenzbedingung (schlechtweg) können wir endlich jeden Ausdruck
nötigenfalls entwickeln nach den Symbolen, a, b, (c), aus welchen er auf-
gebaut ist.
Sonach ist es dann weiter keine Kunst, zuzusehen, ob (und unter
welchen Bedingungen) die in der Arithmetik gleichwertigen Ausdrücke
auch im identischen Kalkul übereinstimmen und um welche Terme sie sich
andernfalles unterscheiden.
Es stellt sich heraus, dass von den in der Arithmetik geltenden
Gleichungen so ziemlich die Hälfte auch im identischen Kalkul Geltung
besitzt unter der Voraussetzung, dass die Ausdrücke beiderseits gleichzeitig
einen Sinn besitzen, d. h. unter den aus dem Anglick der beiden Seiten
selbst ersichtlichen Valenzbedingungen.
Unter Zugrundelegung derselben Annahme (der „vereinigten“ Valenz-
bedingung der Gleichung) bedarf die andere Hälfte der Gleichungen, um
im identischen Kalkul gültig zu werden der Hinzufügung eines Korrektions-
gliedes auf der einen Seite derselben — eines additiven oder subtraktiven
Gliedes, welches eines allgemeinen Ausdrucks selber fähig ist.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 492. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/512>, abgerufen am 22.07.2024.
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