sie alle gemeinsamen Argumenten entwickelt sind, wird hienach eben- falls wieder nach diesen entwickelt erhalten, und bedarf die vorstehende Regel für den auch nur mit den ersten Elementen der Buchstaben- rechnung Vertrauten keiner besonderen Betonung; sie versteht sich ohnehin. Aber auch:
45+) Theorem. Um das Produkt von Funktionen "auszurechnen", welche nach denselben Argumenten entwickelt und geordnet sind, braucht man nur die Koeffizienten der gleichnamigen resp. gleichstelligen Glieder miteinander zu multipliziren und hinter deren Produkte die ihnen ge- meinsamen Konstituenten zu setzen. Auf diese Weise erhält man das Produkt wieder nach ebendiesen Argumenten entwickelt.
Man hat so gewissermassen nur eine Superposition, ein Überein- anderschieben mit den die Entwickelungen darstellenden Polynomen vor- zunehmen, dergestalt, dass die ohnehin übereinstimmenden Konstituenten der gleichstelligen Glieder zur Deckung kommen, ihre Koeffizienten aber zu neuen Koeffizienten zusammentreten, indem sie sich multiplikativ verbunden nebeneinanderstellen.
In der That ist: (a x + b x1) (a' x + b' x1) = a a' x + b b' x1, (a x1 + b x) (c x1 + d x) (e x1 + f x) = a c e x1 + b d f x, (a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1) (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) = = a a' x y + b b' x y1 + c c' x1y + d d' x1y1, etc. Beweis durch (mentales) Ausmultipliziren nach der Multipli- kationsregel für Polynome Th. 28x) mit Rücksicht auf den Zusatz 2 zu Th. 44+):
Indem hier jedes Glied des einen Polynoms oder entwickelten Aus- drucks mit jedem Glied des andern im Geiste zusammengebracht wird, verschwinden alle diejenigen Einzelprodukte, deren Faktoren verschiedene Konstituenten enthalten, in Anbetracht, dass ja letztere disjunkt sind -- m. a. W. ungleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern Polynom entnommen, geben allemal Null zum Produkte. Von Einfluss auf den Wert des Ergebnisses können nur diejenigen Einzelprodukte bleiben, welche gleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern Polynom zusammenfassen. In dem Produkt solcher wird aber der in beiden übereinstimmende Konstituent nicht wiederholt als Faktor zu erwähnen, sondern nach dem Tautologiegesetze 14x) nur einmal als Faktor anzuschreiben sein, q. e. d.
Von zweien ist der Satz äusserst leicht auch auf beliebig viele multiplikativ zu verknüpfende Polynome auszudehnen.
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
sie alle gemeinsamen Argumenten entwickelt sind, wird hienach eben- falls wieder nach diesen entwickelt erhalten, und bedarf die vorstehende Regel für den auch nur mit den ersten Elementen der Buchstaben- rechnung Vertrauten keiner besonderen Betonung; sie versteht sich ohnehin. Aber auch:
45+) Theorem. Um das Produkt von Funktionen „auszurechnen“, welche nach denselben Argumenten entwickelt und geordnet sind, braucht man nur die Koeffizienten der gleichnamigen resp. gleichstelligen Glieder miteinander zu multipliziren und hinter deren Produkte die ihnen ge- meinsamen Konstituenten zu setzen. Auf diese Weise erhält man das Produkt wieder nach ebendiesen Argumenten entwickelt.
Man hat so gewissermassen nur eine Superposition, ein Überein- anderschieben mit den die Entwickelungen darstellenden Polynomen vor- zunehmen, dergestalt, dass die ohnehin übereinstimmenden Konstituenten der gleichstelligen Glieder zur Deckung kommen, ihre Koeffizienten aber zu neuen Koeffizienten zusammentreten, indem sie sich multiplikativ verbunden nebeneinanderstellen.
In der That ist: (a x + b x1) (a' x + b' x1) = a a' x + b b' x1, (a x1 + b x) (c x1 + d x) (e x1 + f x) = a c e x1 + b d f x, (a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1) (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) = = a a' x y + b b' x y1 + c c' x1y + d d' x1y1, etc. Beweis durch (mentales) Ausmultipliziren nach der Multipli- kationsregel für Polynome Th. 28×) mit Rücksicht auf den Zusatz 2 zu Th. 44+):
Indem hier jedes Glied des einen Polynoms oder entwickelten Aus- drucks mit jedem Glied des andern im Geiste zusammengebracht wird, verschwinden alle diejenigen Einzelprodukte, deren Faktoren verschiedene Konstituenten enthalten, in Anbetracht, dass ja letztere disjunkt sind — m. a. W. ungleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern Polynom entnommen, geben allemal Null zum Produkte. Von Einfluss auf den Wert des Ergebnisses können nur diejenigen Einzelprodukte bleiben, welche gleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern Polynom zusammenfassen. In dem Produkt solcher wird aber der in beiden übereinstimmende Konstituent nicht wiederholt als Faktor zu erwähnen, sondern nach dem Tautologiegesetze 14×) nur einmal als Faktor anzuschreiben sein, q. e. d.
Von zweien ist der Satz äusserst leicht auch auf beliebig viele multiplikativ zu verknüpfende Polynome auszudehnen.
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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
sie alle gemeinsamen Argumenten entwickelt sind, wird hienach eben-
falls wieder nach diesen entwickelt erhalten, und bedarf die vorstehende
Regel für den auch nur mit den ersten Elementen der Buchstaben-
rechnung Vertrauten keiner besonderen Betonung; sie versteht sich
ohnehin. Aber auch:
45+) Theorem. Um das Produkt von Funktionen „auszurechnen“,
welche nach denselben Argumenten entwickelt und geordnet sind, braucht
man nur die Koeffizienten der gleichnamigen resp. gleichstelligen Glieder
miteinander zu multipliziren und hinter deren Produkte die ihnen ge-
meinsamen Konstituenten zu setzen. Auf diese Weise erhält man das
Produkt wieder nach ebendiesen Argumenten entwickelt.
Man hat so gewissermassen nur eine Superposition, ein Überein-
anderschieben mit den die Entwickelungen darstellenden Polynomen vor-
zunehmen, dergestalt, dass die ohnehin übereinstimmenden Konstituenten
der gleichstelligen Glieder zur Deckung kommen, ihre Koeffizienten aber
zu neuen Koeffizienten zusammentreten, indem sie sich multiplikativ
verbunden nebeneinanderstellen.
In der That ist:
(a x + b x1) (a' x + b' x1) = a a' x + b b' x1,
(a x1 + b x) (c x1 + d x) (e x1 + f x) = a c e x1 + b d f x,
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etc. Beweis durch (mentales) Ausmultipliziren nach der Multipli-
kationsregel für Polynome Th. 28×) mit Rücksicht auf den Zusatz 2
zu Th. 44+):
Indem hier jedes Glied des einen Polynoms oder entwickelten Aus-
drucks mit jedem Glied des andern im Geiste zusammengebracht wird,
verschwinden alle diejenigen Einzelprodukte, deren Faktoren verschiedene
Konstituenten enthalten, in Anbetracht, dass ja letztere disjunkt sind
— m. a. W. ungleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern
Polynom entnommen, geben allemal Null zum Produkte. Von Einfluss
auf den Wert des Ergebnisses können nur diejenigen Einzelprodukte
bleiben, welche gleichnamige Glieder aus dem einen und dem andern
Polynom zusammenfassen. In dem Produkt solcher wird aber der in
beiden übereinstimmende Konstituent nicht wiederholt als Faktor zu
erwähnen, sondern nach dem Tautologiegesetze 14×) nur einmal als
Faktor anzuschreiben sein, q. e. d.
Von zweien ist der Satz äusserst leicht auch auf beliebig viele
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 421. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/441>, abgerufen am 08.05.2024.
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