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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
nach 43):
a = u b, b = a + v,
woraus nach 32) und 36) auch:
a1 = b1 + u1, b1 = a1 v1
-- in welchen letzteren Darstellungen u, v und somit auch u1, v1, ge-
wisse nicht näher bestimmte Gebiete vorstellen, welche in den oben
erläuterten Fällen auch als arbiträre auszulegen erlaubt ist.

Wie man leicht erkennt kann man obendrein die Gleichungen auch
sämtlich durch Subsumtionen ersetzen in folgender Weise:
a a b, a + b b
a1 + b1 a1, b1 a1 b1
a b1 0, 1 a1 + b
a u b, a + v b
b1 + u1 a1, b1 a1 v1
und mag so die Zahl der verfügbaren Ausdrucksweisen noch um zehn ver-
mehren.

Bei den sechs ersten von diesen gilt nämlich die umgekehrte Subsum-
tion nach Th. 6) und Def. (2) ohnehin als allgemeine Formel, sodass
Gleichheit eintritt. Und bei den vier letzten Subsumtionen, welche ihrer-
seits aus der ihnen entsprechenden Gleichung nach Def. (1) hervorgingen,
folgt auch aus der Subsumtion wieder die Gleichung nach Th. 6), welches
ms u b b resp. a a + v liefert, etc., darnach gemäss Prinzip II den
Schluss a b zu ziehen gestattet, welcher äquivalent war der Gleichung
(in der freilich u, v eine andre Bedeutung haben kann als in der voraus-
gesetzten Subsumtion).

Wir geben jetzt die Erklärung des Funktionsbegriffes für (und in
seiner Beschränkung auf) den identischen Kalkul.

Definition. "Funktion" von x oder f (x) -- gelesen: f von x --
nennen wir im identischen Kalkul jeden Ausdruck, welcher aus dem
Gebietsymbol x (eventuell auch seiner Negation x1) und irgendwelchen
andern Gebietsymbolen aufgebaut ist vermittelst der drei Grundoperationen
des Kalkuls als da sind: identische Multiplikation, Addition und Negation.

Beliebig häufige Verwendung eines jeden Symbols ist bei diesem
Aufbau selbstverständlich zugelassen. Auch war die in Klammer ge-
setzte Einschaltung strenge genommen überflüssig, weil wir zu x zu-
nächst durch Negiren ohnehin x1 ableiten und diese beiden Bausteine
beliebig weiter verwenden können. Von den Operationen dürfen
einzelne auch unvertreten sein; ebenso mögen andere Symbole fehlen.

Analog ist unter einer Funktion f (x, y) von x und y, sowie unter
einer Funktion f (x, y, z) von x, y und z, u. s. w. irgend ein Ausdruck

Schröder, Algebra der Logik. 26

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
nach 43):
a = u b, b = a + v,
woraus nach 32) und 36) auch:
a1 = b1 + u1, b1 = a1 v1
— in welchen letzteren Darstellungen u, v und somit auch u1, v1, ge-
wisse nicht näher bestimmte Gebiete vorstellen, welche in den oben
erläuterten Fällen auch als arbiträre auszulegen erlaubt ist.

Wie man leicht erkennt kann man obendrein die Gleichungen auch
sämtlich durch Subsumtionen ersetzen in folgender Weise:
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a1 + b1 ⋹ a1, b1 ⋹ a1 b1
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und mag so die Zahl der verfügbaren Ausdrucksweisen noch um zehn ver-
mehren.

Bei den sechs ersten von diesen gilt nämlich die umgekehrte Subsum-
tion nach Th. 6) und Def. (2) ohnehin als allgemeine Formel, sodass
Gleichheit eintritt. Und bei den vier letzten Subsumtionen, welche ihrer-
seits aus der ihnen entsprechenden Gleichung nach Def. (1) hervorgingen,
folgt auch aus der Subsumtion wieder die Gleichung nach Th. 6), welches
ms u b ⋹ b resp. a ⋹ a + v liefert, etc., darnach gemäss Prinzip II den
Schluss a ⋹ b zu ziehen gestattet, welcher äquivalent war der Gleichung
(in der freilich u, v eine andre Bedeutung haben kann als in der voraus-
gesetzten Subsumtion).

Wir geben jetzt die Erklärung des Funktionsbegriffes für (und in
seiner Beschränkung auf) den identischen Kalkul.

Definition. „Funktion“ von x oder f (x) — gelesen: f von x —
nennen wir im identischen Kalkul jeden Ausdruck, welcher aus dem
Gebietsymbol x (eventuell auch seiner Negation x1) und irgendwelchen
andern Gebietsymbolen aufgebaut ist vermittelst der drei Grundoperationen
des Kalkuls als da sind: identische Multiplikation, Addition und Negation.

Beliebig häufige Verwendung eines jeden Symbols ist bei diesem
Aufbau selbstverständlich zugelassen. Auch war die in Klammer ge-
setzte Einschaltung strenge genommen überflüssig, weil wir zu x zu-
nächst durch Negiren ohnehin x1 ableiten und diese beiden Bausteine
beliebig weiter verwenden können. Von den Operationen dürfen
einzelne auch unvertreten sein; ebenso mögen andere Symbole fehlen.

Analog ist unter einer Funktion f (x, y) von x und y, sowie unter
einer Funktion f (x, y, z) von x, y und z, u. s. w. irgend ein Ausdruck

Schröder, Algebra der Logik. 26
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[401/0421] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. nach 43): a = u b, b = a + v, woraus nach 32) und 36) auch: a1 = b1 + u1, b1 = a1 v1 — in welchen letzteren Darstellungen u, v und somit auch u1, v1, ge- wisse nicht näher bestimmte Gebiete vorstellen, welche in den oben erläuterten Fällen auch als arbiträre auszulegen erlaubt ist. Wie man leicht erkennt kann man obendrein die Gleichungen auch sämtlich durch Subsumtionen ersetzen in folgender Weise: a ⋹ a b, a + b ⋹ b a1 + b1 ⋹ a1, b1 ⋹ a1 b1 a b1 ⋹ 0, 1 ⋹ a1 + b a ⋹ u b, a + v ⋹ b b1 + u1 ⋹ a1, b1 ⋹ a1 v1 und mag so die Zahl der verfügbaren Ausdrucksweisen noch um zehn ver- mehren. Bei den sechs ersten von diesen gilt nämlich die umgekehrte Subsum- tion nach Th. 6) und Def. (2) ohnehin als allgemeine Formel, sodass Gleichheit eintritt. Und bei den vier letzten Subsumtionen, welche ihrer- seits aus der ihnen entsprechenden Gleichung nach Def. (1) hervorgingen, folgt auch aus der Subsumtion wieder die Gleichung nach Th. 6), welches ms u b ⋹ b resp. a ⋹ a + v liefert, etc., darnach gemäss Prinzip II den Schluss a ⋹ b zu ziehen gestattet, welcher äquivalent war der Gleichung (in der freilich u, v eine andre Bedeutung haben kann als in der voraus- gesetzten Subsumtion). Wir geben jetzt die Erklärung des Funktionsbegriffes für (und in seiner Beschränkung auf) den identischen Kalkul. Definition. „Funktion“ von x oder f (x) — gelesen: f von x — nennen wir im identischen Kalkul jeden Ausdruck, welcher aus dem Gebietsymbol x (eventuell auch seiner Negation x1) und irgendwelchen andern Gebietsymbolen aufgebaut ist vermittelst der drei Grundoperationen des Kalkuls als da sind: identische Multiplikation, Addition und Negation. Beliebig häufige Verwendung eines jeden Symbols ist bei diesem Aufbau selbstverständlich zugelassen. Auch war die in Klammer ge- setzte Einschaltung strenge genommen überflüssig, weil wir zu x zu- nächst durch Negiren ohnehin x1 ableiten und diese beiden Bausteine beliebig weiter verwenden können. Von den Operationen dürfen einzelne auch unvertreten sein; ebenso mögen andere Symbole fehlen. Analog ist unter einer Funktion f (x, y) von x und y, sowie unter einer Funktion f (x, y, z) von x, y und z, u. s. w. irgend ein Ausdruck Schröder, Algebra der Logik. 26

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 401. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/421>, abgerufen am 08.05.2024.