von x und x1 hätte die Form: a x + b x1 + c; sie enthielte nämlich ausser einem mit dem Faktor x und einem mit dem x1 behafteten Gliede auch noch einen von x und x1 freien Term, das so- genannte "Absolutglied" c.
Allerdings gebraucht die Mathematik diese Benennungen nur, sofern die Koeffizienten a und b (beziehlich auch c) von x und x1 "unabhängig", bezüglich ebendieser Variabeln "konstant" sind, nämlich stets dieselben Werte behalten, welche Werte man auch dem x oder x1 in Gedanken unterlegen mag. Diese Anforderung ist im obigen Theorem anscheinend nicht immer erfüllt. Es werden aber die demnächst folgenden Sätze von 44) an zeigen, dass und wie sie sich in weitestem Umfange realisiren lässt; auch oben waren schon bei der Annahme a = b = y diese Koeffi- zienten für jede Deutung von x die gleichen.
43) Theoreme.
Die Subsumtion ab ist auch äquivalent der Gleichung:
43x) a = u b,
43+) b = a + v,
in welcher u resp. v ein gewisses, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
Beweis. Da
u bb
aa + v
nach Th. 6), so folgt nach Th. 2) oder 3) aus der Gleichung jeden- falls die Subsumtion, was immer u und v bedeutet haben mochten, und muss nur noch gezeigt werden, dass auch das Umgekehrte für gewisse u, v der Fall ist.
Letzteres mag auf zwei Arten geschehen. Einmal selbständig: Hier genügt es, darauf aufmerksam zu machen, dass falls ab ist, die Gleichung 43x) schon für u = a, ebenso die 43+) wenigstens für v = b in der That erfüllt sein wird kraft Th. 20).
Sodann auch mittelst Berufung auf Th. 42). Nach diesem Satze kann stets:
a = u b + v b1
b = u a + v a1 = (u + a1) (v + a)
geschrieben werden, indem man das eine der beiden Gebiete a, b linear und homogen durch das andre und seine Negation ausdrückt und die in Betracht kommenden Koeffizienten (die rechts vom Mittel- strich ganz andre sein mögen, als links von demselben) zunächst u und v nennt. Da nun, laut Voraussetzung, nach Th. 38):
a b1 = 0
a1 + b = 1
ist, so folgt aus vorigem durch beiderseitiges Multipliziren mit b1 resp. Addiren von a1:
Zehnte Vorlesung
von x und x1 hätte die Form: a x + b x1 + c; sie enthielte nämlich ausser einem mit dem Faktor x und einem mit dem x1 behafteten Gliede auch noch einen von x und x1 freien Term, das so- genannte „Absolutglied“ c.
Allerdings gebraucht die Mathematik diese Benennungen nur, sofern die Koeffizienten a und b (beziehlich auch c) von x und x1 „unabhängig“, bezüglich ebendieser Variabeln „konstant“ sind, nämlich stets dieselben Werte behalten, welche Werte man auch dem x oder x1 in Gedanken unterlegen mag. Diese Anforderung ist im obigen Theorem anscheinend nicht immer erfüllt. Es werden aber die demnächst folgenden Sätze von 44) an zeigen, dass und wie sie sich in weitestem Umfange realisiren lässt; auch oben waren schon bei der Annahme a = b = y diese Koeffi- zienten für jede Deutung von x die gleichen.
43) Theoreme.
Die Subsumtion a ⋹ b ist auch äquivalent der Gleichung:
43×) a = u b,
43+) b = a + v,
in welcher u resp. v ein gewisses, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
Beweis. Da
u b ⋹ b
a ⋹ a + v
nach Th. 6), so folgt nach Th. 2) oder 3) aus der Gleichung jeden- falls die Subsumtion, was immer u und v bedeutet haben mochten, und muss nur noch gezeigt werden, dass auch das Umgekehrte für gewisse u, v der Fall ist.
Letzteres mag auf zwei Arten geschehen. Einmal selbständig: Hier genügt es, darauf aufmerksam zu machen, dass falls a ⋹ b ist, die Gleichung 43×) schon für u = a, ebenso die 43+) wenigstens für v = b in der That erfüllt sein wird kraft Th. 20).
Sodann auch mittelst Berufung auf Th. 42). Nach diesem Satze kann stets:
a = u b + v b1
b = u a + v a1 = (u + a1) (v + a)
geschrieben werden, indem man das eine der beiden Gebiete a, b linear und homogen durch das andre und seine Negation ausdrückt und die in Betracht kommenden Koeffizienten (die rechts vom Mittel- strich ganz andre sein mögen, als links von demselben) zunächst u und v nennt. Da nun, laut Voraussetzung, nach Th. 38):
a b1 = 0
a1 + b = 1
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[398/0418]
Zehnte Vorlesung
von x und x1 hätte die Form:
a x + b x1 + c;
sie enthielte nämlich ausser einem mit dem Faktor x und einem mit dem
x1 behafteten Gliede auch noch einen von x und x1 freien Term, das so-
genannte „Absolutglied“ c.
Allerdings gebraucht die Mathematik diese Benennungen nur, sofern
die Koeffizienten a und b (beziehlich auch c) von x und x1 „unabhängig“,
bezüglich ebendieser Variabeln „konstant“ sind, nämlich stets dieselben
Werte behalten, welche Werte man auch dem x oder x1 in Gedanken
unterlegen mag. Diese Anforderung ist im obigen Theorem anscheinend
nicht immer erfüllt. Es werden aber die demnächst folgenden Sätze von
44) an zeigen, dass und wie sie sich in weitestem Umfange realisiren
lässt; auch oben waren schon bei der Annahme a = b = y diese Koeffi-
zienten für jede Deutung von x die gleichen.
43) Theoreme.
Die Subsumtion a ⋹ b ist auch äquivalent der Gleichung:
43×) a = u b, 43+) b = a + v,
in welcher u resp. v ein gewisses, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
Beweis. Da
u b ⋹ b a ⋹ a + v
nach Th. 6), so folgt nach Th. 2) oder 3) aus der Gleichung jeden-
falls die Subsumtion, was immer u und v bedeutet haben mochten,
und muss nur noch gezeigt werden, dass auch das Umgekehrte für
gewisse u, v der Fall ist.
Letzteres mag auf zwei Arten geschehen. Einmal selbständig:
Hier genügt es, darauf aufmerksam zu machen, dass falls a ⋹ b ist,
die Gleichung 43×) schon für u = a, ebenso die 43+) wenigstens für
v = b in der That erfüllt sein wird kraft Th. 20).
Sodann auch mittelst Berufung auf Th. 42). Nach diesem Satze
kann stets:
a = u b + v b1 b = u a + v a1 = (u + a1) (v + a)
geschrieben werden, indem man das eine der beiden Gebiete a, b
linear und homogen durch das andre und seine Negation ausdrückt
und die in Betracht kommenden Koeffizienten (die rechts vom Mittel-
strich ganz andre sein mögen, als links von demselben) zunächst u
und v nennt. Da nun, laut Voraussetzung, nach Th. 38):
a b1 = 0 a1 + b = 1
ist, so folgt aus vorigem durch beiderseitiges Multipliziren mit b1 resp.
Addiren von a1:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 398. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/418>, abgerufen am 22.11.2024.
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