Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Neunte Vorlesung.

Theorem ϱ). Wenn a = b ist, so muss auch a + b ⋹ a b sein,
und umgekehrt, sodass die Gleichung mit der Subsumtion äquivalent.

In Worten: Wenn alles, was a oder b ist, auch a und b sein muss,
so sind a und b identisch, einerlei — und vice versā.

Dies zu beweisen kann als eine leichte Übungsaufgabe für An-
fänger empfohlen werden. Doch sei deren Lösung hier angegeben:

Wenn a = b ist, so wird
a + b = a + a = a und a b = a a = a,
somit läuft die behauptete Subsumtion hinaus auf die durch das Prin-
zip I verbürgte a ⋹ a. Die Gleichung zog mithin die Subsumtion
nach sich.

Ist umgekehrt a + b ⋹ a b, so können wir nach Th. 6₊), der Vor-
aussetzung und Th. 6_×) den Kettenschluss ausführen:
a ⋹ a + b, a + b ⋹ a b, a b ⋹ b, ergo a ⋹ b,
und ebenso zeigt man, was überdies nach der Symmetrie schon folgt,
dass auch b ⋹ a, womit nach Def. (1) dann die Gleichung a = b be-
wiesen erscheint. Die Subsumtion hat also auch die Gleichung zur
Folge, q. e. d.

Ein anderer Beweis ist ganz mechanisch führbar, indem man Sub-
sumtion wie Gleichung gemäss den Theoremen 38_×) und 39) rechter-
hand auf 0 bringt.

σ) Aufgabe. Man zeige, dass wenn
a ⋹ b₁ c₁ und b c = 0
ist, auch
b ⋹ c₁ a₁ und c a = 0
sowie
c ⋹ a₁ b₁ und a b = 0
sein muss.

Gilt z. B.: ein Fisch ist weder Vogel noch Säugetier, während kein
Vogel ein Säugetier ist, so haben wir auch die Folgerungen: ein Vogel
ist weder Fisch noch Säugetier, und kein Säugetier ist ein Fisch, sowie:
ein Säugetier ist weder Fisch noch Vogel, desgleichen kein Fisch ein Vogel.

τ) Ebenso zeige man, dass wenn gleichzeitig:
a ⋹ b c₁ + b₁ c, b ⋹ c a₁ + c₁ a, c ⋹ a b₁ + a₁ b
ist, dann diese Subsumtionen als Gleichungen gelten müssen, nämlich
a = b c₁ + b₁ c, etc.
sein wird.

Ausführung — gleichwie bei σ) — dem Leser überlassen —
vergl. π).