§ 12. Prinzip zur Vertretung des unbeweisbaren Satzes.
dual entsprechenden Satz zum dritten Prinzip zu erwählen, muss ich mir weitere Bemerkungen noch vorbehalten (S. 310 sq.).
Einstweilen garantirt uns unser Prinzip IIIx die Erlaubniss, eine Summe wenigstens dann nach dem Distributionsgesetze auszumultipliziren, wenn ihre Glieder unter sich disjunkt sind (d. h. zu je zweien multi- plizirt ein Produkt 0 geben).
Dergleichen Summen mag man "reduzirte" nennen.
Man kann noch bemerken, dass auch die ausmultiplizirte Summe wieder eine reduzirte sein wird und nebenher diese Wahrnehmung mit McColl verallgemeinern zu dem Satze:
Zusatz 3. Das Produkt zweier (oder mehrerer) reduzirten Summen gibt ausmultiplizirt wieder eine reduzirte Summe.
Jedes Glied der ausmultiplizirten Summe hat nämlich, als Partialpro- dukt, ein Glied der ersten und ein Glied der zweiten Summe zum Faktor. Haben zwei Glieder aus der einen Summe denselben Term zum Faktor, so müssen ihre andern Faktoren disjunkte Terme aus der andern Summe sein, und sie darum zum Produkt O geben. Andernfalles haben sie sowol aus der einen als aus der andern Summe disjunkte Terme zu Faktoren und geben, wenn miteinander multiplizirt, um so mehr ein Produkt O.
Anmerkung 3 zu Prinzip IIIx.
Man kann -- vergl. Jevons1 p. 27 sq. -- für das Prinzip IIIx und ebenso schon für die allgemeinere Subsumtion 26x), nachdem sie (wie oben geschah) für Klassen oder auch für Gebiete in Worte ge- fasst sind, einen verbalen "Beweis" liefern wie folgt.
Vorausbemerkt sei nur, dass hiebei im Satze, wie im Beweis wieder- holt (auch in "disjunktiven" Urteilen) die Konjunktion "oder" vorkommt. Beim spezielleren Satze IIIx ist dieselbe im Sinne von § 8, e) zu verstehen als "oder aber", bei dem allgemeineren Satze 26x) dagegen im Sinne von § 8, th) zu ersetzen durch "oder auch". Hierdurch allein würden die bei- den Sätze und Beweise sich unterscheiden. Wir sagen hiernächst schlecht- weg "oder".
Im übrigen muss man wesentlich auch die Interpretation § 8, i) von a + b vor Augen haben.
Jevons' "Beweis" zu IIIx resp. 26x).
Was a und entweder b oder c ist -- wenn es b ist, so ist es a b*, wenn es c ist, so ist es a c, und es ist folglich entweder a b oder a c. [-- sintemal auch a (b + c) b + c, sowie a ba b + a c und a ca b + a c nach Th. 6) sein muss --].
* Dann ist es nämlich a und b zugleich, ist ein a, welches b ist, ein a b. Man kann sich auch auf Th. 20x) berufen, wonach für ein dem b eingeordnetes a, für ab, auch sein muss a = a b, und um so mehr aa b.
§ 12. Prinzip zur Vertretung des unbeweisbaren Satzes.
dual entsprechenden Satz zum dritten Prinzip zu erwählen, muss ich mir weitere Bemerkungen noch vorbehalten (S. 310 sq.).
Einstweilen garantirt uns unser Prinzip III× die Erlaubniss, eine Summe wenigstens dann nach dem Distributionsgesetze auszumultipliziren, wenn ihre Glieder unter sich disjunkt sind (d. h. zu je zweien multi- plizirt ein Produkt 0 geben).
Dergleichen Summen mag man „reduzirte“ nennen.
Man kann noch bemerken, dass auch die ausmultiplizirte Summe wieder eine reduzirte sein wird und nebenher diese Wahrnehmung mit McColl verallgemeinern zu dem Satze:
Zusatz 3. Das Produkt zweier (oder mehrerer) reduzirten Summen gibt ausmultiplizirt wieder eine reduzirte Summe.
Jedes Glied der ausmultiplizirten Summe hat nämlich, als Partialpro- dukt, ein Glied der ersten und ein Glied der zweiten Summe zum Faktor. Haben zwei Glieder aus der einen Summe denselben Term zum Faktor, so müssen ihre andern Faktoren disjunkte Terme aus der andern Summe sein, und sie darum zum Produkt O geben. Andernfalles haben sie sowol aus der einen als aus der andern Summe disjunkte Terme zu Faktoren und geben, wenn miteinander multiplizirt, um so mehr ein Produkt O.
Anmerkung 3 zu Prinzip III×.
Man kann — vergl. Jevons1 p. 27 sq. — für das Prinzip III× und ebenso schon für die allgemeinere Subsumtion 26×), nachdem sie (wie oben geschah) für Klassen oder auch für Gebiete in Worte ge- fasst sind, einen verbalen „Beweis“ liefern wie folgt.
Vorausbemerkt sei nur, dass hiebei im Satze, wie im Beweis wieder- holt (auch in „disjunktiven“ Urteilen) die Konjunktion „oder“ vorkommt. Beim spezielleren Satze III× ist dieselbe im Sinne von § 8, η) zu verstehen als „oder aber“, bei dem allgemeineren Satze 26×) dagegen im Sinne von § 8, ϑ) zu ersetzen durch „oder auch“. Hierdurch allein würden die bei- den Sätze und Beweise sich unterscheiden. Wir sagen hiernächst schlecht- weg „oder“.
Im übrigen muss man wesentlich auch die Interpretation § 8, ι) von a + b vor Augen haben.
Jevons' „Beweis“ zu III× resp. 26×).
Was a und entweder b oder c ist — wenn es b ist, so ist es a b*, wenn es c ist, so ist es a c, und es ist folglich entweder a b oder a c. [— sintemal auch a (b + c) ⋹ b + c, sowie a b ⋹ a b + a c und a c ⋹ a b + a c nach Th. 6) sein muss —].
* Dann ist es nämlich a und b zugleich, ist ein a, welches b ist, ein a b. Man kann sich auch auf Th. 20×) berufen, wonach für ein dem b eingeordnetes a, für a ⋹ b, auch sein muss a = a b, und um so mehr a ⋹ a b.
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§ 12. Prinzip zur Vertretung des unbeweisbaren Satzes.
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Einstweilen garantirt uns unser Prinzip III× die Erlaubniss, eine
Summe wenigstens dann nach dem Distributionsgesetze auszumultipliziren,
wenn ihre Glieder unter sich disjunkt sind (d. h. zu je zweien multi-
plizirt ein Produkt 0 geben).
Dergleichen Summen mag man „reduzirte“ nennen.
Man kann noch bemerken, dass auch die ausmultiplizirte Summe
wieder eine reduzirte sein wird und nebenher diese Wahrnehmung mit
McColl verallgemeinern zu dem Satze:
Zusatz 3. Das Produkt zweier (oder mehrerer) reduzirten Summen
gibt ausmultiplizirt wieder eine reduzirte Summe.
Jedes Glied der ausmultiplizirten Summe hat nämlich, als Partialpro-
dukt, ein Glied der ersten und ein Glied der zweiten Summe zum Faktor.
Haben zwei Glieder aus der einen Summe denselben Term zum Faktor, so
müssen ihre andern Faktoren disjunkte Terme aus der andern Summe sein,
und sie darum zum Produkt O geben. Andernfalles haben sie sowol aus
der einen als aus der andern Summe disjunkte Terme zu Faktoren und
geben, wenn miteinander multiplizirt, um so mehr ein Produkt O.
Anmerkung 3 zu Prinzip III×.
Man kann — vergl. Jevons1 p. 27 sq. — für das Prinzip III×
und ebenso schon für die allgemeinere Subsumtion 26×), nachdem sie
(wie oben geschah) für Klassen oder auch für Gebiete in Worte ge-
fasst sind, einen verbalen „Beweis“ liefern wie folgt.
Vorausbemerkt sei nur, dass hiebei im Satze, wie im Beweis wieder-
holt (auch in „disjunktiven“ Urteilen) die Konjunktion „oder“ vorkommt.
Beim spezielleren Satze III× ist dieselbe im Sinne von § 8, η) zu verstehen
als „oder aber“, bei dem allgemeineren Satze 26×) dagegen im Sinne von
§ 8, ϑ) zu ersetzen durch „oder auch“. Hierdurch allein würden die bei-
den Sätze und Beweise sich unterscheiden. Wir sagen hiernächst schlecht-
weg „oder“.
Im übrigen muss man wesentlich auch die Interpretation § 8, ι) von
a + b vor Augen haben.
Jevons' „Beweis“ zu III× resp. 26×).
Was a und entweder b oder c ist — wenn es b ist, so ist es a b *,
wenn es c ist, so ist es a c, und es ist folglich entweder a b oder a c.
[— sintemal auch a (b + c) ⋹ b + c, sowie a b ⋹ a b + a c und
a c ⋹ a b + a c nach Th. 6) sein muss —].
* Dann ist es nämlich a und b zugleich, ist ein a, welches b ist, ein a b.
Man kann sich auch auf Th. 20×) berufen, wonach für ein dem b eingeordnetes a,
für a ⋹ b, auch sein muss a = a b, und um so mehr a ⋹ a b.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 295. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/315>, abgerufen am 09.05.2024.
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