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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse.
schaften eine höchst hervorragende Rolle -- wie z. B. in der Mechanik
die Sätze über die "vollkommen" starren Körper. Solche Sätze haben
wesentlich die Bedeutung von Schlüssen, welche an die Voraussetzung der
absoluten Starrheit eines Körpers die betreffenden Behauptungen als Fol-
gerungen knüpfen; ihr logisches Subjekt ist eben diese Hypothese (der
vollkommnen Starrheit eines Körpers) und erscheinen damit auch sie als
Urteile über Urteile, und somit über Existirendes.

Wenn es demnach mit der Wortsprache sich doch so, wie wir oben
sagten, verhält, so sind wir aber an deren Brauch in unsrer Disziplin
nicht gebunden.

kh)*) Am letzten Beispiel, der Subsumtion 0 1, lässt sich übri-
gens schon darthun, dass es in der That unzulässig ist, unter 1 eine
so umfassende, sozusagen ganz offene Klasse, wie das oben geschilderte
"Universum des Diskussionsfähigen" (von Boole) zu verstehen.

Wie ausgemacht ist, sollte nämlich 0 in jeder Klasse, welche aus
der Mannigfaltigkeit 1 herausgehoben werden kann, mitenthalten sein,
sodass 0 a gilt, 0 sollte Subjekt zu jedem Prädikate sein.

Verstünden wir nun unter a die Klasse derjenigen Klassen der
Mannigfaltigkeit, welche gleich 1 sind, [und dies wäre ja, wenn wir alles
Denkmögliche in die Mannigfaltigkeit 1 hereinziehen dürfen, gewiss
erlaubt], so umfasste diese Klasse wesentlich nur ein Objekt, nämlich
das Symbol 1 selbst, beziehungsweise das Ganze der Mannigfaltigkeit,
die seine Bedeutung ausmacht -- ausserdem aber auch "nichts" mit-
hin O. Da nun also 1 und 0 die Klasse derjenigen Objekte aus-
machten, welche gleich 1 zu gelten haben, so müsste nicht nur: 1 = 1,
sondern auch: 0 = 1 anerkannt werden. Denn ein Prädikat, welches
einer Klasse zukommt (hier das Prädikat, identisch gleich 1 zu sein),
muss auch jedem Individuum dieser Klasse zukommen, gemäss Prinzip II.

In einer solchen Mannigfaltigkeit, wo 0 = 1 gälte, würde jede
Möglichkeit der Unterscheidung zweier Klassen oder auch Individuen
von vornherein ausgeschlossen sein; hier wäre dann alles "wurst".

Indem man die Gleichung 0 = 1 nach später bewiesenen Regeln beider-
seits mit a, daneben auch mit b multiplizirte [gemäss Th. 16x), 21x) und
22x)] sodann die Ergebnisse 0 = a und 0 = b [gemäss Th. 4)] mitein-
ander vergliche, würde sich die Gleichung a = b als allgemeine Formel ergeben,
gültig, was auch a und b für Klassen oder Individuen vorstellen mochten!
Als allgemeine Formel hingestellt ist solche Gleichung jederzeit ein Unsinn.

Wir werden die Gleichung:
0 = 1

*) Was unter kh) hier folgt ist wol als zu subtil für den ersten Unterricht
weniger geeignet; es wäre mit jugendlichen Anfängern -- in der Schule z. B. --
zu überspringen.

§ 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse.
schaften eine höchst hervorragende Rolle — wie z. B. in der Mechanik
die Sätze über die „vollkommen“ starren Körper. Solche Sätze haben
wesentlich die Bedeutung von Schlüssen, welche an die Voraussetzung der
absoluten Starrheit eines Körpers die betreffenden Behauptungen als Fol-
gerungen knüpfen; ihr logisches Subjekt ist eben diese Hypothese (der
vollkommnen Starrheit eines Körpers) und erscheinen damit auch sie als
Urteile über Urteile, und somit über Existirendes.

Wenn es demnach mit der Wortsprache sich doch so, wie wir oben
sagten, verhält, so sind wir aber an deren Brauch in unsrer Disziplin
nicht gebunden.

χ)*) Am letzten Beispiel, der Subsumtion 0 ⋹ 1, lässt sich übri-
gens schon darthun, dass es in der That unzulässig ist, unter 1 eine
so umfassende, sozusagen ganz offene Klasse, wie das oben geschilderte
„Universum des Diskussionsfähigen“ (von Boole) zu verstehen.

Wie ausgemacht ist, sollte nämlich 0 in jeder Klasse, welche aus
der Mannigfaltigkeit 1 herausgehoben werden kann, mitenthalten sein,
sodass 0 ⋹ a gilt, 0 sollte Subjekt zu jedem Prädikate sein.

Verstünden wir nun unter a die Klasse derjenigen Klassen der
Mannigfaltigkeit, welche gleich 1 sind, [und dies wäre ja, wenn wir alles
Denkmögliche in die Mannigfaltigkeit 1 hereinziehen dürfen, gewiss
erlaubt], so umfasste diese Klasse wesentlich nur ein Objekt, nämlich
das Symbol 1 selbst, beziehungsweise das Ganze der Mannigfaltigkeit,
die seine Bedeutung ausmacht — ausserdem aber auch „nichts“ mit-
hin O. Da nun also 1 und 0 die Klasse derjenigen Objekte aus-
machten, welche gleich 1 zu gelten haben, so müsste nicht nur: 1 = 1,
sondern auch: 0 = 1 anerkannt werden. Denn ein Prädikat, welches
einer Klasse zukommt (hier das Prädikat, identisch gleich 1 zu sein),
muss auch jedem Individuum dieser Klasse zukommen, gemäss Prinzip II.

In einer solchen Mannigfaltigkeit, wo 0 = 1 gälte, würde jede
Möglichkeit der Unterscheidung zweier Klassen oder auch Individuen
von vornherein ausgeschlossen sein; hier wäre dann alles „wurst“.

Indem man die Gleichung 0 = 1 nach später bewiesenen Regeln beider-
seits mit a, daneben auch mit b multiplizirte [gemäss Th. 16×), 21×) und
22×)] sodann die Ergebnisse 0 = a und 0 = b [gemäss Th. 4)] mitein-
ander vergliche, würde sich die Gleichung a = b als allgemeine Formel ergeben,
gültig, was auch a und b für Klassen oder Individuen vorstellen mochten!
Als allgemeine Formel hingestellt ist solche Gleichung jederzeit ein Unsinn.

Wir werden die Gleichung:
0 = 1

*) Was unter χ) hier folgt ist wol als zu subtil für den ersten Unterricht
weniger geeignet; es wäre mit jugendlichen Anfängern — in der Schule z. B. —
zu überspringen.
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[245/0265] § 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse. schaften eine höchst hervorragende Rolle — wie z. B. in der Mechanik die Sätze über die „vollkommen“ starren Körper. Solche Sätze haben wesentlich die Bedeutung von Schlüssen, welche an die Voraussetzung der absoluten Starrheit eines Körpers die betreffenden Behauptungen als Fol- gerungen knüpfen; ihr logisches Subjekt ist eben diese Hypothese (der vollkommnen Starrheit eines Körpers) und erscheinen damit auch sie als Urteile über Urteile, und somit über Existirendes. Wenn es demnach mit der Wortsprache sich doch so, wie wir oben sagten, verhält, so sind wir aber an deren Brauch in unsrer Disziplin nicht gebunden. χ) *) Am letzten Beispiel, der Subsumtion 0 ⋹ 1, lässt sich übri- gens schon darthun, dass es in der That unzulässig ist, unter 1 eine so umfassende, sozusagen ganz offene Klasse, wie das oben geschilderte „Universum des Diskussionsfähigen“ (von Boole) zu verstehen. Wie ausgemacht ist, sollte nämlich 0 in jeder Klasse, welche aus der Mannigfaltigkeit 1 herausgehoben werden kann, mitenthalten sein, sodass 0 ⋹ a gilt, 0 sollte Subjekt zu jedem Prädikate sein. Verstünden wir nun unter a die Klasse derjenigen Klassen der Mannigfaltigkeit, welche gleich 1 sind, [und dies wäre ja, wenn wir alles Denkmögliche in die Mannigfaltigkeit 1 hereinziehen dürfen, gewiss erlaubt], so umfasste diese Klasse wesentlich nur ein Objekt, nämlich das Symbol 1 selbst, beziehungsweise das Ganze der Mannigfaltigkeit, die seine Bedeutung ausmacht — ausserdem aber auch „nichts“ mit- hin O. Da nun also 1 und 0 die Klasse derjenigen Objekte aus- machten, welche gleich 1 zu gelten haben, so müsste nicht nur: 1 = 1, sondern auch: 0 = 1 anerkannt werden. Denn ein Prädikat, welches einer Klasse zukommt (hier das Prädikat, identisch gleich 1 zu sein), muss auch jedem Individuum dieser Klasse zukommen, gemäss Prinzip II. In einer solchen Mannigfaltigkeit, wo 0 = 1 gälte, würde jede Möglichkeit der Unterscheidung zweier Klassen oder auch Individuen von vornherein ausgeschlossen sein; hier wäre dann alles „wurst“. Indem man die Gleichung 0 = 1 nach später bewiesenen Regeln beider- seits mit a, daneben auch mit b multiplizirte [gemäss Th. 16×), 21×) und 22×)] sodann die Ergebnisse 0 = a und 0 = b [gemäss Th. 4)] mitein- ander vergliche, würde sich die Gleichung a = b als allgemeine Formel ergeben, gültig, was auch a und b für Klassen oder Individuen vorstellen mochten! Als allgemeine Formel hingestellt ist solche Gleichung jederzeit ein Unsinn. Wir werden die Gleichung: 0 = 1 *) Was unter χ) hier folgt ist wol als zu subtil für den ersten Unterricht weniger geeignet; es wäre mit jugendlichen Anfängern — in der Schule z. B. — zu überspringen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 245. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/265>, abgerufen am 22.11.2024.