§ 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse.
in der Gegenwart allein) dem Bereich der Wirklichkeit angehört, was existirt. Wenn es a's gibt, so ist dann ar. Das letztere aber ist, kraft Def. (2x), auch richtig, wenn es keine a's gibt; es schliesst die Subsumtion den Fall a = 0 nicht aus.
Wie Existenzialurteile selbst in unsrer Zeichensprache angemessen darzustellen sind, werden wir später sehen (§ 33).
Einstweilen sind wir nur im stande die Verneinung eines Existen- zialurteils darzustellen, indem, wie gezeigt, die Gleichung a = 0 [oder, nach Th. 5x) auch die Subsumtion a 0] ausdrücken wird: "Es gibt keine a's". Dies wäre z. B. richtig, wenn a die Klasse der "Zauberer, Hexen und Gespenster", oder auch wenn es die der "runden Quadrate" bedeutete.
u) Zur Stelle ist über die verbale Einkleidung der mit Def. (2) als allgemeine Formel eingeführten Subsumtionen:
(2x)
0 a und a 1
(2+)
überhaupt noch einiges zu bemerken.
Wir sahen: 0 bedeutet "nichts"; das Zeichen entspricht der Kopula, und muss mit "ist" in die Wortsprache übertragen werden; endlich a mag jedes beliebige.*) Prädikat sein -- sagen wir beispiels- weise "schwarz".
Die Subsumtion 0 a ist unzweifelhaft richtig, weil die Klasse aller der Dinge, welche wir "schwarz" nennen würden, ausser diesen nichts enthält, also wie ich sagen darf, noch obendrein auch "nichts" enthält.
Wenn wir diese Subsumtion aber, dem vorausgehenden gemäss, mit "Nichts ist schwarz" übersetzen wollten, so würden wir gleichwol eine falsche Aussage erhalten. Denn letztere würde ja den Sinn haben: "Es gibt nichts Schwarzes"; sie würde die Verneinung eines der oben erwähnten Existenzialurteile sein, welche in Formeln nicht die Sub- sumtion, sondern nur die Gleichung 0 = a oder a = 0 ausdrückt.
Die Subsumtion hatten wir demnach falsch übersetzt, und dieses weist darauf hin, dass für unsre "extremen" Fälle die Übersetzungs- regeln eine Ausnahme haben, und haben müssen, indem über den Sinn des regelrechten Übersetzungsergebnisses die Wortsprache bereits ander- weitig verfügt hat.
Dies aber lässt sich nicht nur erklären sondern auch rechtfertigen. Bei der Aufstellung ihrer Regel, nämlich indem sie es zur Gewohnheit
*) Wie schon angedeutet, mit einer Einschränkung, welche unter ps) ausein- andergesetzt werden wird.
Schröder, Algebra der Logik. 16
§ 9. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse.
in der Gegenwart allein) dem Bereich der Wirklichkeit angehört, was existirt. Wenn es a's gibt, so ist dann a ⋹ r. Das letztere aber ist, kraft Def. (2×), auch richtig, wenn es keine a's gibt; es schliesst die Subsumtion den Fall a = 0 nicht aus.
Wie Existenzialurteile selbst in unsrer Zeichensprache angemessen darzustellen sind, werden wir später sehen (§ 33).
Einstweilen sind wir nur im stande die Verneinung eines Existen- zialurteils darzustellen, indem, wie gezeigt, die Gleichung a = 0 [oder, nach Th. 5×) auch die Subsumtion a ⋹ 0] ausdrücken wird: „Es gibt keine a's“. Dies wäre z. B. richtig, wenn a die Klasse der „Zauberer, Hexen und Gespenster“, oder auch wenn es die der „runden Quadrate“ bedeutete.
υ) Zur Stelle ist über die verbale Einkleidung der mit Def. (2) als allgemeine Formel eingeführten Subsumtionen:
(2×)
0 ⋹ a und a ⋹ 1
(2+)
überhaupt noch einiges zu bemerken.
Wir sahen: 0 bedeutet „nichts“; das Zeichen ⋹ entspricht der Kopula, und muss mit „ist“ in die Wortsprache übertragen werden; endlich a mag jedes beliebige.*) Prädikat sein — sagen wir beispiels- weise „schwarz“.
Die Subsumtion 0 ⋹ a ist unzweifelhaft richtig, weil die Klasse aller der Dinge, welche wir „schwarz“ nennen würden, ausser diesen nichts enthält, also wie ich sagen darf, noch obendrein auch „nichts“ enthält.
Wenn wir diese Subsumtion aber, dem vorausgehenden gemäss, mit „Nichts ist schwarz“ übersetzen wollten, so würden wir gleichwol eine falsche Aussage erhalten. Denn letztere würde ja den Sinn haben: „Es gibt nichts Schwarzes“; sie würde die Verneinung eines der oben erwähnten Existenzialurteile sein, welche in Formeln nicht die Sub- sumtion, sondern nur die Gleichung 0 = a oder a = 0 ausdrückt.
Die Subsumtion hatten wir demnach falsch übersetzt, und dieses weist darauf hin, dass für unsre „extremen“ Fälle die Übersetzungs- regeln eine Ausnahme haben, und haben müssen, indem über den Sinn des regelrechten Übersetzungsergebnisses die Wortsprache bereits ander- weitig verfügt hat.
Dies aber lässt sich nicht nur erklären sondern auch rechtfertigen. Bei der Aufstellung ihrer Regel, nämlich indem sie es zur Gewohnheit
*) Wie schon angedeutet, mit einer Einschränkung, welche unter ψ) ausein- andergesetzt werden wird.
Schröder, Algebra der Logik. 16
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in der Gegenwart allein) dem Bereich der Wirklichkeit angehört, was
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kraft Def. (2×), auch richtig, wenn es keine a's gibt; es schliesst die
Subsumtion den Fall a = 0 nicht aus.
Wie Existenzialurteile selbst in unsrer Zeichensprache angemessen
darzustellen sind, werden wir später sehen (§ 33).
Einstweilen sind wir nur im stande die Verneinung eines Existen-
zialurteils darzustellen, indem, wie gezeigt, die Gleichung a = 0 [oder,
nach Th. 5×) auch die Subsumtion a ⋹ 0] ausdrücken wird: „Es gibt
keine a's“. Dies wäre z. B. richtig, wenn a die Klasse der „Zauberer,
Hexen und Gespenster“, oder auch wenn es die der „runden Quadrate“
bedeutete.
υ) Zur Stelle ist über die verbale Einkleidung der mit Def. (2)
als allgemeine Formel eingeführten Subsumtionen:
(2×) 0 ⋹ a und a ⋹ 1 (2+)
überhaupt noch einiges zu bemerken.
Wir sahen: 0 bedeutet „nichts“; das Zeichen ⋹ entspricht der
Kopula, und muss mit „ist“ in die Wortsprache übertragen werden;
endlich a mag jedes beliebige. *) Prädikat sein — sagen wir beispiels-
weise „schwarz“.
Die Subsumtion 0 ⋹ a ist unzweifelhaft richtig, weil die Klasse
aller der Dinge, welche wir „schwarz“ nennen würden, ausser diesen
nichts enthält, also wie ich sagen darf, noch obendrein auch „nichts“
enthält.
Wenn wir diese Subsumtion aber, dem vorausgehenden gemäss,
mit „Nichts ist schwarz“ übersetzen wollten, so würden wir gleichwol
eine falsche Aussage erhalten. Denn letztere würde ja den Sinn haben:
„Es gibt nichts Schwarzes“; sie würde die Verneinung eines der oben
erwähnten Existenzialurteile sein, welche in Formeln nicht die Sub-
sumtion, sondern nur die Gleichung 0 = a oder a = 0 ausdrückt.
Die Subsumtion hatten wir demnach falsch übersetzt, und dieses
weist darauf hin, dass für unsre „extremen“ Fälle die Übersetzungs-
regeln eine Ausnahme haben, und haben müssen, indem über den Sinn
des regelrechten Übersetzungsergebnisses die Wortsprache bereits ander-
weitig verfügt hat.
Dies aber lässt sich nicht nur erklären sondern auch rechtfertigen.
Bei der Aufstellung ihrer Regel, nämlich indem sie es zur Gewohnheit
*) Wie schon angedeutet, mit einer Einschränkung, welche unter ψ) ausein-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 241. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/261>, abgerufen am 09.05.2024.
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