§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete, nebst Postulaten.
Dies alles ist auch direkt nach Def. (3) ersichtlich. -- Das Symbol a b resp. a + b ist demnach in der That selbst dasjenige "Gebiet" c, welches die Voraussetzungen der als Theoreme 7) und 9) ausgesprochenen Definitionen gleichzeitig erfüllt.
Auf Grund der vorstehenden Überlegungen können wir nun sagen:
Die Operationen der identischen Multiplikation und Addition sind niemals undeutig und niemals mehrdeutig, vielmehr unbedingt ausführ- bar und eindeutig -- oder, wie ich zusammenfassend es ausdrücken will: sie sind "vollkommen eindeutige" innerhalb der durch Zuzug der Symbole 0, 1, a b, a + b vielleicht erweiterten Mannigfaltigkeit von "Gebieten".
Dass a b in der That eines Wertes nie ermangeln kann, wenn man schon den Namen a b selber als "Wert" gelten lässt, erscheint selbst- verständlich: eine solche Definition verbürgt zugleich die Existenz des Defi- nirten. Dass a b nicht mehrere Werte haben kann, zeigte der Zusatz zu Th. 11). Analog bezüglich des a + b.
Worauf es hier besonders ankam, war: zu sehen, dass die Aufnahme der neuen Symbole unter die "Gebiete" im Grunde schon dadurch vollzogen wurde, dass man das Identitätsprinzip I auf sie anwendete, beziehungsweise ausdehnte.
Indem man nunmehr für c sogleich den Namen a b resp. a + b gebrauchte, würden die beiden Theoreme 7) und 9) augenscheinlich zu einem Satze zusammenfliessen, der sich völlig deckt mit der alten Definition (3) -- nur dass es jetzt "jedes x" anstatt des dortigen "gewissen" c hiesse.
Dergestalt im Ringe herum gegangen kämen wir somit wieder zu unserm Ausgangspunkte zurück.
Diesen Satz, Def. (3), stellt Herr Peirce einfach als "Definition" von a b resp. a + b hin.
Dass er aber solche Definition nicht blos für die einseitige Ver- wendung (als major resp. minor) sondern in der That vollständig ent- hält -- dies durch die hier gegebene Zergliederung nachgewiesen zu haben, dürfte wol nicht überflüssig gewesen sein. --
§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete nebst zugehörigen Postulaten. Konsistente Mannigfaltigkeit.
Wir schreiten jetzt dazu, das im Bisherigen abstrakt Definirte zu veranschaulichen, zu deuten.
Solange es ununtersucht gelassen wird, ob es "eigentliche" Gebiete gebe, welche die von den Symbolen 0, 1, a b, a + b geforderten Eigen- schaften besitzen, konnten wir sagen, dass unsre Definitionen die
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§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete, nebst Postulaten.
Dies alles ist auch direkt nach Def. (3) ersichtlich. — Das Symbol a b resp. a + b ist demnach in der That selbst dasjenige „Gebiet“ c, welches die Voraussetzungen der als Theoreme 7) und 9) ausgesprochenen Definitionen gleichzeitig erfüllt.
Auf Grund der vorstehenden Überlegungen können wir nun sagen:
Die Operationen der identischen Multiplikation und Addition sind niemals undeutig und niemals mehrdeutig, vielmehr unbedingt ausführ- bar und eindeutig — oder, wie ich zusammenfassend es ausdrücken will: sie sind „vollkommen eindeutige“ innerhalb der durch Zuzug der Symbole 0, 1, a b, a + b vielleicht erweiterten Mannigfaltigkeit von „Gebieten“.
Dass a b in der That eines Wertes nie ermangeln kann, wenn man schon den Namen a b selber als „Wert“ gelten lässt, erscheint selbst- verständlich: eine solche Definition verbürgt zugleich die Existenz des Defi- nirten. Dass a b nicht mehrere Werte haben kann, zeigte der Zusatz zu Th. 11). Analog bezüglich des a + b.
Worauf es hier besonders ankam, war: zu sehen, dass die Aufnahme der neuen Symbole unter die „Gebiete“ im Grunde schon dadurch vollzogen wurde, dass man das Identitätsprinzip I auf sie anwendete, beziehungsweise ausdehnte.
Indem man nunmehr für c sogleich den Namen a b resp. a + b gebrauchte, würden die beiden Theoreme 7) und 9) augenscheinlich zu einem Satze zusammenfliessen, der sich völlig deckt mit der alten Definition (3) — nur dass es jetzt „jedes x“ anstatt des dortigen „gewissen“ c hiesse.
Dergestalt im Ringe herum gegangen kämen wir somit wieder zu unserm Ausgangspunkte zurück.
Diesen Satz, Def. (3), stellt Herr Peirce einfach als „Definition“ von a b resp. a + b hin.
Dass er aber solche Definition nicht blos für die einseitige Ver- wendung (als major resp. minor) sondern in der That vollständig ent- hält — dies durch die hier gegebene Zergliederung nachgewiesen zu haben, dürfte wol nicht überflüssig gewesen sein. —
§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete nebst zugehörigen Postulaten. Konsistente Mannigfaltigkeit.
Wir schreiten jetzt dazu, das im Bisherigen abstrakt Definirte zu veranschaulichen, zu deuten.
Solange es ununtersucht gelassen wird, ob es „eigentliche“ Gebiete gebe, welche die von den Symbolen 0, 1, a b, a + b geforderten Eigen- schaften besitzen, konnten wir sagen, dass unsre Definitionen die
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§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete, nebst Postulaten.
Dies alles ist auch direkt nach Def. (3) ersichtlich. — Das
Symbol a b resp. a + b ist demnach in der That selbst dasjenige
„Gebiet“ c, welches die Voraussetzungen der als Theoreme 7) und 9)
ausgesprochenen Definitionen gleichzeitig erfüllt.
Auf Grund der vorstehenden Überlegungen können wir nun sagen:
Die Operationen der identischen Multiplikation und Addition sind
niemals undeutig und niemals mehrdeutig, vielmehr unbedingt ausführ-
bar und eindeutig — oder, wie ich zusammenfassend es ausdrücken
will: sie sind „vollkommen eindeutige“ innerhalb der durch Zuzug
der Symbole 0, 1, a b, a + b vielleicht erweiterten Mannigfaltigkeit
von „Gebieten“.
Dass a b in der That eines Wertes nie ermangeln kann, wenn man
schon den Namen a b selber als „Wert“ gelten lässt, erscheint selbst-
verständlich: eine solche Definition verbürgt zugleich die Existenz des Defi-
nirten. Dass a b nicht mehrere Werte haben kann, zeigte der Zusatz zu
Th. 11). Analog bezüglich des a + b.
Worauf es hier besonders ankam, war: zu sehen, dass die Aufnahme
der neuen Symbole unter die „Gebiete“ im Grunde schon dadurch vollzogen
wurde, dass man das Identitätsprinzip I auf sie anwendete, beziehungsweise
ausdehnte.
Indem man nunmehr für c sogleich den Namen a b resp. a + b
gebrauchte, würden die beiden Theoreme 7) und 9) augenscheinlich
zu einem Satze zusammenfliessen, der sich völlig deckt mit der alten
Definition (3) — nur dass es jetzt „jedes x“ anstatt des dortigen
„gewissen“ c hiesse.
Dergestalt im Ringe herum gegangen kämen wir somit wieder zu
unserm Ausgangspunkte zurück.
Diesen Satz, Def. (3), stellt Herr Peirce einfach als „Definition“
von a b resp. a + b hin.
Dass er aber solche Definition nicht blos für die einseitige Ver-
wendung (als major resp. minor) sondern in der That vollständig ent-
hält — dies durch die hier gegebene Zergliederung nachgewiesen zu
haben, dürfte wol nicht überflüssig gewesen sein. —
§ 7. Deutung von 0, 1, a b, a + b als Gebiete nebst zugehörigen
Postulaten. Konsistente Mannigfaltigkeit.
Wir schreiten jetzt dazu, das im Bisherigen abstrakt Definirte zu
veranschaulichen, zu deuten.
Solange es ununtersucht gelassen wird, ob es „eigentliche“ Gebiete
gebe, welche die von den Symbolen 0, 1, a b, a + b geforderten Eigen-
schaften besitzen, konnten wir sagen, dass unsre Definitionen die
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 211. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/231>, abgerufen am 03.12.2024.
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