Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 1. Subsumtion.

der Grössenvergleichung (=, >, <) verwenden zu müssen, dergleichen in
der That bis jetzt auch keines ganz allgemein rezipirt erscheint.

Aber nicht nur zur Darstellung der Beziehungen zwischen vieldeutigen
Zahlenausdrücken sollte eigentlich das Subsumtionszeichen allgemeinere Ver-
wendung finden, sondern auch noch auf zahlreichen anderen Untersuchungs-
gebieten, wo sich einstweilen noch jeder Autor seine eigene bisweilen recht
schwerfällige Terminologie schafft behufs Darstellung von Beziehungen, die
einfach als eine „Einordnung“ zu charakterisiren wären.^*)

Wählten wir nun für die Unterordnung das Zeichen < selbst, so
würden zahlreiche Missverständnisse ebendadurch nahe gelegt werden. Wir
können auch bei Zahlengattungen A und B, also bei vieldeutigen Aus-
drücken, das Zeichen < in seinem ursprünglichen Sinne verwenden, um
mittelst der Relation A < B auszudrücken, dass jede Zahl der Gattung A
kleiner sei als jede Zahl der Gattung B. Doch wenn wir auch absehen
wollen von der Zulässigkeit dieser immerhin seltnereu Verwendungsweise,
so sieht man doch den in einer Formel beiderseits stehenden Ausdrücken
nicht immer an, ob sie uns einen oder ob sie mehrere Werte repräsentiren
sollen, wo doch im ersteren Falle das Zeichen < eine ganz andere Deutung
zu erhalten hätte. Bei allen allgemeinen Untersuchungen über Zahlen-
klassen, vieldeutige Ausdrücke, muss man vielmehr als Grenz- oder De-
generationsfälle auch diejenigen besondern Fälle mit unterlaufen lassen,
wo die vieldeutigen in eindeutige Ausdrücke ausarten, wo die Klassen auf
je ein Individuum zusammenschrumpfen. Zwischen zwei Zahlindividuen,
eindeutigen Zahlzeichen, ist die eigentliche Unterordnung unmöglich, un-
denkbar, denn das zweite Individuum müsste dann eine Klasse sein, die
ausser dem ersten noch andere Individuen enthält im Widerspruch zu der
Annahme, dass sie nur eines enthalte, nämlich eine „singuläre“ Klasse sei.
Sind A und B dergestalt eindeutige Zahlzeichen, so könnte die Subsum-
tion A ⋹ B, in der Gestalt der Relation A ≦ B geschrieben, doch nur
als Gleichung gelten, es müsste dann A = B selbst sein. Als Behauptung

*) Ich will in dieser Richtung wenigstens auf Einiges aufmerksam machen
und wende mich damit vorzugsweise an Mathematiker: Herrn George Cantor's
berühmte Untersuchungen über die Mannigfaltigkeitslehre beschäftigen sich mit
Beziehungen zwischen Punktmengen, bei denen die Subsumtion eine wesentliche
Rolle spielt und durch entsprechende Verwendung ihres Zeichens sich erhebliche
Vorteile im Sinne knapper Darstellung erzielen lassen würden. Ebenso könnten
die epochemachenden Untersuchungen von Dedekind über allgemeine Zahlen-
theorie³ (Supplement XI) sowie die Anwendungen der dort eingeführten Begriffe
auf die Theorie der algebraischen Funktionen, wie sie Dedekind und Weber in
ihrer Abhandlung in Bd. 92 des Crelle'schen Journals gegeben haben, wol über-
sichtlicher dargestellt werden, wenn statt des Begriffs der Teilbarkeit stets der
der Einordnung und das Subsumtionszeichen benutzt würde. Dabei würde auch
der für das Studium störende Umstand vermieden, dass bei Moduln der Teiler
dem Geteilten übergeordnet ist — ein Umstand, auf welchen ich durch Herrn
Lüroth aufmerksam gemacht worden. Nicht minder dürfte dieses Zeichen bei
der Begründung von Herrn Schubert's genialem Kalkül der abzählenden Geo-
metrie mit Vorteil zu verwenden sein, sowie auf andern Gebieten mehr.