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Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 3. Berlin, Wien, 1912.

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501·8 cm2 und F4 = 563·4 cm2; Fv/F1 = 0·837, Fv/F2 = 0·72, Fv/F3 = 0·632, Fv/F4 = 0·564. Die Querkraftordinaten mit diesen Koeffizienten multipliziert, geben die verzerrte Querkraftlinie (Abb. 319).

Nun ist hierin bedeuten h. d = 207·6 cm2, G = 0·4. E = 800 t/cm2, Q1 die Ordinaten der verzerrten Querkraftfläche.

Daher die gesamte D. d = d1 + d2 = 11·5 + 0·785 = 12·285 mm.

Wie zu ersehen ist, beträgt der Einfluß der Querkraft auf die gesamte D. rund 6·4%.

Durchbiegung von Fachwerksträgern.

Bei der Formänderung von Fachwerken kommt, abgesehen vom Temperatureinfluß, nur die Wirkung von Achsialkräften in Betracht, da in den einzelnen Fachwerksstäben bei Voraussetzung gelenkiger Knotenpunkte keine anderen Kräfte auftreten. Auch hier gibt es zur Ermittlung der D. zwei Wege.

A. Rechnerischer Weg.

In der Praxis wird es sich bei der Ermittlung der D. eines Fachwerkes immer darum handeln, nicht die D. aller Knotenpunkte, sondern eines ganz bestimmten, in der Regel des mittleren Knotenpunktes, zu finden. Hierfür wendet man wieder die allgemeine Gleichung für die Verschiebungsarbeit an. Wird der Einfluß der Temperatur gesondert betrachtet und werden feste, unverschiebliche Stützen vorausgesetzt, so reduziert sich die allgemeine Gleichung auf: Da im Fachwerk die Achsialkraft N für jeden Stab, in dessen Länge s konstant und durch die Stabkraft S, bzw. S` zu ersetzen ist, so lautet die Gleichung Um nun die Verschiebung irgend eines Knotenpunktes zu finden, wählt man die Kraft P` = 1 in jenem Knotenpunkte lotrecht wirkend an, dessen D. (lotrechte Formänderung) gesucht werden soll. Die Arbeitsgleichung lautet dann: 1. d = S`. D s. Darin bedeuten S` die Stabkräfte, hervorgerufen durch die alleinige Wirkung der Kraft 1 im betreffenden Knotenpunkte, welche am besten mit Hilfe eines Cremonaplanes ermittelt werden; D s die Längenänderungen der Stäbe infolge des Belastungszustandes, für den die D. gesucht werden soll, d die Größe der D.

Hat man nun für alle Knotenpunkte eines Fachwerkes die lotrechten Verschiebungen zu ermitteln, so wird man mit Vorteil einen schnelleren Weg benutzen. Trägt man die lotrechte Verschiebung jedes Knotens als Ordinate von einer wagrechten Linie aus im entsprechenden Sinne auf, so gibt die Verbindung dieser Punkte die Biegungslinie der betreffenden Gurtung. Zur Bestimmung der Biegungslinie muß man die Änderung der von je zwei aufeinanderfolgenden Gurtstäben gebildeten Randwinkel und die Längenänderungen der Gurtstäbe kennen.

a) Änderung der Winkel.

Die Randwinkel setzen sich aus den einzelnen Dreieckswinkeln zusammen, und die Summe der einzelnen Änderungen Abb. 320.

dieser Dreieckswinkel gibt die Änderung des betreffenden Randwinkels. Wenn in einem Dreieck (Abb. 320) a1, a2, a3 die Seiten und a1, a2, a3 die gegenüberliegenden Winkel bezeichnen und s1, s2, s3 die Spannungen der Stäbe a1, a2, a3, so ergibt sich die Änderung des Winkels a1 mit:
D a1 = 1/E [(s1 - s2) cotg a3 + (s1 - s2) cotg a2],
mit welcher Gleichung alle die Änderungen der einzelnen den Gesamtrandwinkel bildenden Dreieckswinkel gerechnet werden können.

b) Längenänderungen der Gurtstäbe.

a) Untergurte (Abb. 321).

Zwei aneinander stoßende Gurtstäbe sm und sm + 1 haben eine vertikale Projektion


Abb. 321.

501·8 cm2 und F4 = 563·4 cm2; Fv/F1 = 0·837, Fv/F2 = 0·72, Fv/F3 = 0·632, Fv/F4 = 0·564. Die Querkraftordinaten mit diesen Koeffizienten multipliziert, geben die verzerrte Querkraftlinie (Abb. 319).

Nun ist hierin bedeuten h. d = 207·6 cm2, G = 0·4. E = 800 t/cm2, Q1 die Ordinaten der verzerrten Querkraftfläche.

Daher die gesamte D. δ = δ1 + δ2 = 11·5 + 0·785 = 12·285 mm.

Wie zu ersehen ist, beträgt der Einfluß der Querkraft auf die gesamte D. rund 6·4%.

Durchbiegung von Fachwerksträgern.

Bei der Formänderung von Fachwerken kommt, abgesehen vom Temperatureinfluß, nur die Wirkung von Achsialkräften in Betracht, da in den einzelnen Fachwerksstäben bei Voraussetzung gelenkiger Knotenpunkte keine anderen Kräfte auftreten. Auch hier gibt es zur Ermittlung der D. zwei Wege.

A. Rechnerischer Weg.

In der Praxis wird es sich bei der Ermittlung der D. eines Fachwerkes immer darum handeln, nicht die D. aller Knotenpunkte, sondern eines ganz bestimmten, in der Regel des mittleren Knotenpunktes, zu finden. Hierfür wendet man wieder die allgemeine Gleichung für die Verschiebungsarbeit an. Wird der Einfluß der Temperatur gesondert betrachtet und werden feste, unverschiebliche Stützen vorausgesetzt, so reduziert sich die allgemeine Gleichung auf: Da im Fachwerk die Achsialkraft N für jeden Stab, in dessen Länge s konstant und durch die Stabkraft S, bzw. S‵ zu ersetzen ist, so lautet die Gleichung Um nun die Verschiebung irgend eines Knotenpunktes zu finden, wählt man die Kraft P‵ = 1 in jenem Knotenpunkte lotrecht wirkend an, dessen D. (lotrechte Formänderung) gesucht werden soll. Die Arbeitsgleichung lautet dann: 1. δ = ∑ S‵. Δ s. Darin bedeuten S‵ die Stabkräfte, hervorgerufen durch die alleinige Wirkung der Kraft 1 im betreffenden Knotenpunkte, welche am besten mit Hilfe eines Cremonaplanes ermittelt werden; Δ s die Längenänderungen der Stäbe infolge des Belastungszustandes, für den die D. gesucht werden soll, δ die Größe der D.

Hat man nun für alle Knotenpunkte eines Fachwerkes die lotrechten Verschiebungen zu ermitteln, so wird man mit Vorteil einen schnelleren Weg benutzen. Trägt man die lotrechte Verschiebung jedes Knotens als Ordinate von einer wagrechten Linie aus im entsprechenden Sinne auf, so gibt die Verbindung dieser Punkte die Biegungslinie der betreffenden Gurtung. Zur Bestimmung der Biegungslinie muß man die Änderung der von je zwei aufeinanderfolgenden Gurtstäben gebildeten Randwinkel und die Längenänderungen der Gurtstäbe kennen.

a) Änderung der Winkel.

Die Randwinkel setzen sich aus den einzelnen Dreieckswinkeln zusammen, und die Summe der einzelnen Änderungen Abb. 320.

dieser Dreieckswinkel gibt die Änderung des betreffenden Randwinkels. Wenn in einem Dreieck (Abb. 320) a1, a2, a3 die Seiten und α1, α2, α3 die gegenüberliegenden Winkel bezeichnen und σ1, σ2, σ3 die Spannungen der Stäbe a1, a2, a3, so ergibt sich die Änderung des Winkels α1 mit:
Δ α1 = 1/E [(σ1 – σ2) cotg α3 + (σ1 – σ2) cotg α2],
mit welcher Gleichung alle die Änderungen der einzelnen den Gesamtrandwinkel bildenden Dreieckswinkel gerechnet werden können.

b) Längenänderungen der Gurtstäbe.

α) Untergurte (Abb. 321).

Zwei aneinander stoßende Gurtstäbe sm und sm + 1 haben eine vertikale Projektion


Abb. 321.

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[454/0472] 501·8 cm2 und F4 = 563·4 cm2; Fv/F1 = 0·837, Fv/F2 = 0·72, Fv/F3 = 0·632, Fv/F4 = 0·564. Die Querkraftordinaten mit diesen Koeffizienten multipliziert, geben die verzerrte Querkraftlinie (Abb. 319). Nun ist [FORMEL] hierin bedeuten h. d = 207·6 cm2, G = 0·4. E = 800 t/cm2, Q1 die Ordinaten der verzerrten Querkraftfläche. [FORMEL] Daher die gesamte D. δ = δ1 + δ2 = 11·5 + 0·785 = 12·285 mm. Wie zu ersehen ist, beträgt der Einfluß der Querkraft auf die gesamte D. rund 6·4%. Durchbiegung von Fachwerksträgern. Bei der Formänderung von Fachwerken kommt, abgesehen vom Temperatureinfluß, nur die Wirkung von Achsialkräften in Betracht, da in den einzelnen Fachwerksstäben bei Voraussetzung gelenkiger Knotenpunkte keine anderen Kräfte auftreten. Auch hier gibt es zur Ermittlung der D. zwei Wege. A. Rechnerischer Weg. In der Praxis wird es sich bei der Ermittlung der D. eines Fachwerkes immer darum handeln, nicht die D. aller Knotenpunkte, sondern eines ganz bestimmten, in der Regel des mittleren Knotenpunktes, zu finden. Hierfür wendet man wieder die allgemeine Gleichung für die Verschiebungsarbeit an. Wird der Einfluß der Temperatur gesondert betrachtet und werden feste, unverschiebliche Stützen vorausgesetzt, so reduziert sich die allgemeine Gleichung auf: [FORMEL] Da im Fachwerk die Achsialkraft N für jeden Stab, in dessen Länge s konstant und durch die Stabkraft S, bzw. S‵ zu ersetzen ist, so lautet die Gleichung [FORMEL] Um nun die Verschiebung irgend eines Knotenpunktes zu finden, wählt man die Kraft P‵ = 1 in jenem Knotenpunkte lotrecht wirkend an, dessen D. (lotrechte Formänderung) gesucht werden soll. Die Arbeitsgleichung lautet dann: 1. δ = ∑ S‵. Δ s. Darin bedeuten S‵ die Stabkräfte, hervorgerufen durch die alleinige Wirkung der Kraft 1 im betreffenden Knotenpunkte, welche am besten mit Hilfe eines Cremonaplanes ermittelt werden; Δ s die Längenänderungen der Stäbe infolge des Belastungszustandes, für den die D. gesucht werden soll, δ die Größe der D. Hat man nun für alle Knotenpunkte eines Fachwerkes die lotrechten Verschiebungen zu ermitteln, so wird man mit Vorteil einen schnelleren Weg benutzen. Trägt man die lotrechte Verschiebung jedes Knotens als Ordinate von einer wagrechten Linie aus im entsprechenden Sinne auf, so gibt die Verbindung dieser Punkte die Biegungslinie der betreffenden Gurtung. Zur Bestimmung der Biegungslinie muß man die Änderung der von je zwei aufeinanderfolgenden Gurtstäben gebildeten Randwinkel und die Längenänderungen der Gurtstäbe kennen. a) Änderung der Winkel. Die Randwinkel setzen sich aus den einzelnen Dreieckswinkeln zusammen, und die Summe der einzelnen Änderungen [Abbildung Abb. 320. ] dieser Dreieckswinkel gibt die Änderung des betreffenden Randwinkels. Wenn in einem Dreieck (Abb. 320) a1, a2, a3 die Seiten und α1, α2, α3 die gegenüberliegenden Winkel bezeichnen und σ1, σ2, σ3 die Spannungen der Stäbe a1, a2, a3, so ergibt sich die Änderung des Winkels α1 mit: Δ α1 = 1/E [(σ1 – σ2) cotg α3 + (σ1 – σ2) cotg α2], mit welcher Gleichung alle die Änderungen der einzelnen den Gesamtrandwinkel bildenden Dreieckswinkel gerechnet werden können. b) Längenänderungen der Gurtstäbe. α) Untergurte (Abb. 321). Zwei aneinander stoßende Gurtstäbe sm und sm + 1 haben eine vertikale Projektion [Abbildung Abb. 321. ]

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Zitationshilfe: Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 3. Berlin, Wien, 1912, S. 454. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/roell_eisenbahnwesen03_1912/472>, abgerufen am 28.09.2024.