Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150.
B. RIEMANN, nung darf nie negativ werden; ich nehme an, dass es immer positivbleibt. Dieser Differentialausdruck zweiter Ordnung bleibt alsdann con- stant, wenn ds constant bleibt und wächst im quadratischen Verhält- nisse, wenn die Grössen dx und also auch ds sich sämmtlich in demsel- ben Verhältnisse ändern; er ist also = const. ds2 und folglich ist ds = der Quadratwurzel aus einer immer positiven ganzen homogenen Function zweiten Grades der Grössen dx, in welcher die Coefficienten stetige Functionen der Grössen x sind. Für den Raum wird, wenn man die Lage der Punkte durch rechtwinklige Coordinaten ausdrückt, ds = [Formel 1] ; der Raum ist also unter diesem einfachsten Falle enthalten. Der nächst einfache Fall würde wohl die Mannigfaltigkeiten umfassen, in welchen sich das Linienelement durch die vierte Wurzel aus einem Differential- ausdrucke vierten Grades ausdrücken lässt. Die Untersuchung dieser allgemeinern Gattung würde zwar keine wesentlich andere Principien er- fordern, aber ziemlich zeitraubend sein und verhältnissmässig auf die Lehre vom Raume wenig neues Licht werfen, zumal da sich die Resul- tate nicht geometrisch ausdrücken lassen; ich beschränke mich daher auf die Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadrat- wurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausgedrückt wird. Man kann einen solchen Ausdruck in einen andern ähnlichen transfor- miren, indem man für die n unabhängigen Veränderlichen Functionen von n neuen unabhängigen Veränderlichen setzt. Auf diesem Wege wird man aber nicht jeden Ausdruck in jeden transformiren können; denn der Ausdruck enthält [Formel 2] Coefficienten, welche willkührliche Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind; durch Einführung neuer Veränderlicher wird man aber nur n Relationen genügen und also nur n der Coefficienten gegebenen Grössen gleich machen können. Es sind dann die übrigen [Formel 3] durch die Natur der darzustellenden Man- nigfaltigkeit schon völlig bestimmt, und zur Bestimmung ihrer Mass- verhältnisse also [Formel 4] Functionen des Orts erforderlich. Die Mannig- B. RIEMANN, nung darf nie negativ werden; ich nehme an, dass es immer positivbleibt. Dieser Differentialausdruck zweiter Ordnung bleibt alsdann con- stant, wenn ds constant bleibt und wächst im quadratischen Verhält- nisse, wenn die Grössen dx und also auch ds sich sämmtlich in demsel- ben Verhältnisse ändern; er ist also = const. ds2 und folglich ist ds = der Quadratwurzel aus einer immer positiven ganzen homogenen Function zweiten Grades der Grössen dx, in welcher die Coefficienten stetige Functionen der Grössen x sind. Für den Raum wird, wenn man die Lage der Punkte durch rechtwinklige Coordinaten ausdrückt, ds = [Formel 1] ; der Raum ist also unter diesem einfachsten Falle enthalten. Der nächst einfache Fall würde wohl die Mannigfaltigkeiten umfassen, in welchen sich das Linienelement durch die vierte Wurzel aus einem Differential- ausdrucke vierten Grades ausdrücken lässt. Die Untersuchung dieser allgemeinern Gattung würde zwar keine wesentlich andere Principien er- fordern, aber ziemlich zeitraubend sein und verhältnissmässig auf die Lehre vom Raume wenig neues Licht werfen, zumal da sich die Resul- tate nicht geometrisch ausdrücken lassen; ich beschränke mich daher auf die Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadrat- wurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausgedrückt wird. Man kann einen solchen Ausdruck in einen andern ähnlichen transfor- miren, indem man für die n unabhängigen Veränderlichen Functionen von n neuen unabhängigen Veränderlichen setzt. Auf diesem Wege wird man aber nicht jeden Ausdruck in jeden transformiren können; denn der Ausdruck enthält [Formel 2] Coefficienten, welche willkührliche Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind; durch Einführung neuer Veränderlicher wird man aber nur n Relationen genügen und also nur n der Coefficienten gegebenen Grössen gleich machen können. Es sind dann die übrigen [Formel 3] durch die Natur der darzustellenden Man- nigfaltigkeit schon völlig bestimmt, und zur Bestimmung ihrer Mass- verhältnisse also [Formel 4] Functionen des Orts erforderlich. Die Mannig- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0015" n="140"/><fw place="top" type="header">B. <hi rendition="#g">RIEMANN,</hi></fw><lb/> nung darf nie negativ werden; ich nehme an, dass es immer positiv<lb/> bleibt. 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B. RIEMANN,
nung darf nie negativ werden; ich nehme an, dass es immer positiv
bleibt. Dieser Differentialausdruck zweiter Ordnung bleibt alsdann con-
stant, wenn ds constant bleibt und wächst im quadratischen Verhält-
nisse, wenn die Grössen dx und also auch ds sich sämmtlich in demsel-
ben Verhältnisse ändern; er ist also = const. ds2 und folglich ist ds =
der Quadratwurzel aus einer immer positiven ganzen homogenen Function
zweiten Grades der Grössen dx, in welcher die Coefficienten stetige
Functionen der Grössen x sind. Für den Raum wird, wenn man die
Lage der Punkte durch rechtwinklige Coordinaten ausdrückt, ds = [FORMEL];
der Raum ist also unter diesem einfachsten Falle enthalten. Der nächst
einfache Fall würde wohl die Mannigfaltigkeiten umfassen, in welchen
sich das Linienelement durch die vierte Wurzel aus einem Differential-
ausdrucke vierten Grades ausdrücken lässt. Die Untersuchung dieser
allgemeinern Gattung würde zwar keine wesentlich andere Principien er-
fordern, aber ziemlich zeitraubend sein und verhältnissmässig auf die
Lehre vom Raume wenig neues Licht werfen, zumal da sich die Resul-
tate nicht geometrisch ausdrücken lassen; ich beschränke mich daher
auf die Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadrat-
wurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausgedrückt wird.
Man kann einen solchen Ausdruck in einen andern ähnlichen transfor-
miren, indem man für die n unabhängigen Veränderlichen Functionen
von n neuen unabhängigen Veränderlichen setzt. Auf diesem Wege
wird man aber nicht jeden Ausdruck in jeden transformiren können;
denn der Ausdruck enthält [FORMEL] Coefficienten, welche willkührliche
Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind; durch Einführung
neuer Veränderlicher wird man aber nur n Relationen genügen und also
nur n der Coefficienten gegebenen Grössen gleich machen können. Es
sind dann die übrigen [FORMEL] durch die Natur der darzustellenden Man-
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verhältnisse also [FORMEL] Functionen des Orts erforderlich. Die Mannig-
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| Zitationshilfe: | Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150, hier S. 140. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/riemann_hypothesen_1867/15>, abgerufen am 22.11.2024. |
