x : p = k : p1 -- p, x =
[Formel 1]
; ci = i = x + k =
[Formel 2]
=
[Formel 3]
; k =
[Formel 4]
.
Beispiele. Fragen wir, wie die Fläche a : 1/2a : 1/3 a die Oktaederkanten schneidet, so betrachten wir die 4 Kanten als Zonenaxen k, die sämmtlich untereinander gleich als Einheit genommen werden, da wir ja nur das Verhältniß des Schnittes finden wollen. Da die Fläche des 48-Flächner im kleinsten a ( 1/3 a) zum Schnitt in der Ecke kommt, so müssen wir das Zeichen in 3a : a : a umwandeln, also m = 1/3
[Abbildung]
und n = 2/3 setzen, gibt die Formel
[Formel 6]
. Läge die Fläche im vordern rechten Quadranten, so wäre für die erste Kante m = 1, n = infinity, gibt k; für die 3te n = infinity, m = -- 1 gibt 3/4 k; für die 2te n = 1, m = infinity gibt 3 k ; n = -- 1, m = infinity gibt 3/5 k, also werden die Kanten der Reihe nach geschnitten : 3 : 3/4 : 3/5 = 1/2 : 1 : 1/4 : 1/5 .
Um die Lage des Schnittes zu ermitteln, können wir nach pag. 45 zuvor die Ausdrücke in den dreierlei Axen adt suchen. So hat z. B. das Leucitoeder a : 2a : 2a in seinem Oktanten a : 2/3 d : 1/2t, und der 48-Flächner a : 3a : a bekommt a : 3/5 d : 1/2 t, also haben beide die Granatoederkante a : 1/2 t gemein, und da 3/5 d kleiner ist als 2/3 d, so muß der 48-Flächner die 2+2kantige Ecke des Leucitoeders 4flächig zuschärfen. Die Pyramide des 48-Flächner erhebt sich auf der eingeschriebenen Granatoederfläche 3/5 -- 1/2 = , das Leucitoeder 2/3 -- 1/2 = 1/6 . Nehmen wir die Pyramidenhöhe 1/6 als Ein- heit, so hat der 48-Flächner 3/5 , folglich nach dem Satze der Theilung des Dreiecks
[Formel 11]
= 1/4, also werden die Kanten über dem eingeschriebenen Granatoeder im Leucitoeder wie 1 : 1 : 1/4 : 1/4 geschnitten.
Nach diesen Vorbereitungen wird es leicht, die Körper zu machen. Der Pyramidenwürfel wird aus dem Würfel verfertigt, indem wir die Kante im Verhältniß von 2 : 1 zuschärfen, wir zeichnen die Linien alle vor, und legen den Schnitt von 2 durch den Mittelpunkt der Würfel- fläche, damit die Pyramidenecke dahin falle. Das Pyramidenoktaeder erhalten wir durch Zuschärfung der Oktaederkanten, indem wir die Kante wie 1 : 1/4 : 1/3 : infinity zuschärfen, den Schnitt von 1 legen wir durch den Mittelpunkt der Oktaederfläche, damit die Pyramidenspitze dort hinein falle. Das Pyramidengranatoeder machen wir aus dem Granatoeder, indem wir die Kanten des Granatoeders in dem Verhältniß von 1 : 1/2 : infinity zuschärfen, den Schnitt 1 legen wir durch den Mittelpunkt der Grana- toederfläche, damit die Pyramidenspitze dorthin falle. Das Leucitoeder kann man durch gerade Abstumpfung der Granatoederkanten erhalten, in- dem man die Abstumpfungsflächen durch den Mittelpunkt zweier anliegenden Granatoederflächen legt. Am leichtesten und mit dem geringsten Holz- aufwande macht man es aus der regulären sechsseitigen Säule. Man
5*
Verfertigung der regulären Körper.
x : p = k : p1 — p, x =
[Formel 1]
; cι = ι = x + k =
[Formel 2]
=
[Formel 3]
; k =
[Formel 4]
.
Beiſpiele. Fragen wir, wie die Fläche a : ½a : ⅓a die Oktaederkanten ſchneidet, ſo betrachten wir die 4 Kanten als Zonenaxen k, die ſämmtlich untereinander gleich als Einheit genommen werden, da wir ja nur das Verhältniß des Schnittes finden wollen. Da die Fläche des 48-Flächner im kleinſten a (⅓a) zum Schnitt in der Ecke kommt, ſo müſſen wir das Zeichen in 3a : a : a umwandeln, alſo μ = ⅓
[Abbildung]
und ν = ⅔ ſetzen, gibt die Formel
[Formel 6]
. Läge die Fläche im vordern rechten Quadranten, ſo wäre für die erſte Kante m = 1, n = ∞, gibt k; für die 3te n = ∞, m = — 1 gibt ¾ k; für die 2te n = 1, m = ∞ gibt 3 k ; n = — 1, m = ∞ gibt ⅗ k, alſo werden die Kanten der Reihe nach geſchnitten : 3 : ¾ : ⅗ = ½ : 1 : ¼ : ⅕.
Um die Lage des Schnittes zu ermitteln, können wir nach pag. 45 zuvor die Ausdrücke in den dreierlei Axen adt ſuchen. So hat z. B. das Leucitoeder a : 2a : 2a in ſeinem Oktanten a : ⅔d : ½t, und der 48-Flächner a : 3a : a bekommt a : ⅗ d : ½ t, alſo haben beide die Granatoederkante a : ½ t gemein, und da ⅗d kleiner iſt als ⅔d, ſo muß der 48-Flächner die 2+2kantige Ecke des Leucitoeders 4flächig zuſchärfen. Die Pyramide des 48-Flächner erhebt ſich auf der eingeſchriebenen Granatoederfläche ⅗ — ½ = , das Leucitoeder ⅔ — ½ = ⅙. Nehmen wir die Pyramidenhöhe ⅙ als Ein- heit, ſo hat der 48-Flächner ⅗, folglich nach dem Satze der Theilung des Dreiecks
[Formel 11]
= ¼, alſo werden die Kanten über dem eingeſchriebenen Granatoeder im Leucitoeder wie 1 : 1 : ¼ : ¼ geſchnitten.
Nach dieſen Vorbereitungen wird es leicht, die Körper zu machen. Der Pyramidenwürfel wird aus dem Würfel verfertigt, indem wir die Kante im Verhältniß von 2 : 1 zuſchärfen, wir zeichnen die Linien alle vor, und legen den Schnitt von 2 durch den Mittelpunkt der Würfel- fläche, damit die Pyramidenecke dahin falle. Das Pyramidenoktaeder erhalten wir durch Zuſchärfung der Oktaederkanten, indem wir die Kante wie 1 : ¼ : ⅓ : ∞ zuſchärfen, den Schnitt von 1 legen wir durch den Mittelpunkt der Oktaederfläche, damit die Pyramidenſpitze dort hinein falle. Das Pyramidengranatoeder machen wir aus dem Granatoeder, indem wir die Kanten des Granatoeders in dem Verhältniß von 1 : ½ : ∞ zuſchärfen, den Schnitt 1 legen wir durch den Mittelpunkt der Grana- toederfläche, damit die Pyramidenſpitze dorthin falle. Das Leucitoeder kann man durch gerade Abſtumpfung der Granatoederkanten erhalten, in- dem man die Abſtumpfungsflächen durch den Mittelpunkt zweier anliegenden Granatoederflächen legt. Am leichteſten und mit dem geringſten Holz- aufwande macht man es aus der regulären ſechsſeitigen Säule. Man
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[67/0079]
Verfertigung der regulären Körper.
x : p = k : p1 — p, x = [FORMEL]; cι = ι = x + k = [FORMEL]
= [FORMEL];
k = [FORMEL].
Beiſpiele. Fragen wir, wie die Fläche a : ½a : ⅓a
die Oktaederkanten ſchneidet, ſo betrachten wir die 4 Kanten
als Zonenaxen k, die ſämmtlich untereinander gleich als
Einheit genommen werden, da wir ja nur das Verhältniß
des Schnittes finden wollen. Da die Fläche des 48-Flächner
im kleinſten a (⅓a) zum Schnitt in der Ecke kommt, ſo
müſſen wir das Zeichen in 3a : [FORMEL]a : a umwandeln, alſo μ = ⅓
[Abbildung]
und ν = ⅔ ſetzen, gibt die Formel [FORMEL]. Läge die Fläche im
vordern rechten Quadranten, ſo wäre für die erſte Kante m = 1, n = ∞,
gibt [FORMEL] k; für die 3te n = ∞, m = — 1 gibt ¾ k; für die 2te n = 1,
m = ∞ gibt 3 k ; n = — 1, m = ∞ gibt ⅗ k, alſo werden die Kanten
der Reihe nach geſchnitten [FORMEL] : 3 : ¾ : ⅗ = ½ : 1 : ¼ : ⅕.
Um die Lage des Schnittes zu ermitteln, können wir nach pag. 45
zuvor die Ausdrücke in den dreierlei Axen adt ſuchen. So hat z. B. das
Leucitoeder a : 2a : 2a in ſeinem Oktanten a : ⅔d : ½t, und der 48-Flächner
a : 3a : [FORMEL]a bekommt a : ⅗ d : ½ t, alſo haben beide die Granatoederkante
a : ½ t gemein, und da ⅗d kleiner iſt als ⅔d, ſo muß der 48-Flächner die
2+2kantige Ecke des Leucitoeders 4flächig zuſchärfen. Die Pyramide des
48-Flächner erhebt ſich auf der eingeſchriebenen Granatoederfläche ⅗ — ½ = [FORMEL],
das Leucitoeder ⅔ — ½ = ⅙. Nehmen wir die Pyramidenhöhe ⅙ als Ein-
heit, ſo hat der 48-Flächner ⅗, folglich nach dem Satze der Theilung des
Dreiecks [FORMEL] = ¼, alſo werden die Kanten über dem eingeſchriebenen
Granatoeder im Leucitoeder wie 1 : 1 : ¼ : ¼ geſchnitten.
Nach dieſen Vorbereitungen wird es leicht, die Körper zu machen.
Der Pyramidenwürfel wird aus dem Würfel verfertigt, indem wir
die Kante im Verhältniß von 2 : 1 zuſchärfen, wir zeichnen die Linien
alle vor, und legen den Schnitt von 2 durch den Mittelpunkt der Würfel-
fläche, damit die Pyramidenecke dahin falle. Das Pyramidenoktaeder
erhalten wir durch Zuſchärfung der Oktaederkanten, indem wir die Kante
wie 1 : ¼ : ⅓ : ∞ zuſchärfen, den Schnitt von 1 legen wir durch den
Mittelpunkt der Oktaederfläche, damit die Pyramidenſpitze dort hinein falle.
Das Pyramidengranatoeder machen wir aus dem Granatoeder,
indem wir die Kanten des Granatoeders in dem Verhältniß von 1 : ½ : ∞
zuſchärfen, den Schnitt 1 legen wir durch den Mittelpunkt der Grana-
toederfläche, damit die Pyramidenſpitze dorthin falle. Das Leucitoeder
kann man durch gerade Abſtumpfung der Granatoederkanten erhalten, in-
dem man die Abſtumpfungsflächen durch den Mittelpunkt zweier anliegenden
Granatoederflächen legt. Am leichteſten und mit dem geringſten Holz-
aufwande macht man es aus der regulären ſechsſeitigen Säule. Man
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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 67. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/79>, abgerufen am 14.08.2024.
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